y⊥N(a/-A) 其中N(A-A)是A的相应于A的特征向量空间,N(I-A)是A 的相应于A的特征向量空间 证明1若(4-A)x=y有解x,x∈N(Ar-A),则 x(y)=(x,(4/-A)x)=(/-A)x,x) (r-A)x,x)=0 故y⊥N(r-A) 反之,若y⊥N(A-A),我们证明y∈R(I-A).若不然, yER(I-A) 由引理2,R(Ⅰ-A)是闭线性子空间,根据 Hahan- Banach定理,存 在x∈X,x'(y)≠0,但在R(AI-A)上x=0.由此,一方面vx∈X, y=(AI-A)x∈R(I-A) (r-A)x,x)=(x,(/-A)x)=x(y)=0 这说明(A-A)x=0,x∈N(Ar-A).另一方面由x(y)≠0知道 y⊥N(A-A)不成立,从而出现矛盾,故y∈R(A-A),所以存在 x∈X,使得y=(aI-A)x 2若对于y∈X,方程(Ar-A)x=y有解x,则 vx∈N(/-A),y(x)=(-A)x,x)=(x,(4-A)x)=0,故 y⊥N(4-A) 反之,若y⊥N(4-A),对于任意的y∈R(-A),不妨设 y=(-A)x,令y(y)=y(x),我们将验证y是R(-A)上的连续 线性泛函.首先y有确定的意义.实际上,若另有y=(/-A)x,则 (A-A)(x-x)=0,x-x∈N(I-A),但y⊥N(a/-A),所以 y(x-x)=0,y(x)=y(x),这说明y(y)由y惟一确定 y在R(-A)上是线性的,现在证明y连续.设yn∈R(-A) 不妨设yn=(λⅠ-A)xn→>0,根据引理2中R(/-A)为闭子空间的证7 * y NIA ⊥ − ( ) λ . 其中 * * NI A ( ) λ − 是 * A 的相应于 λ 的特征向量空间, NIA ( ) λ − 是 A 的相应于 λ 的特征向量空间. 证明 1 D 若 ( ) λI − = Ax y 有解 * x, x ∈ * * NI A ( ) λ − ，则 * * x ( ) ( ,( ) ) y x I Ax = − λ * * = − (( ) , ) λI Axx * ** = (( ) , ) 0. λI Axx − = 故 * * yNI A ⊥ − ( ). λ 反之，若 * * yNI A ⊥ − ( ), λ 我们证明 yRIA ∈ ( ) λ − . 若不然， yRIA ∉ − ( ) λ ， 由引理 2， R( ) λI A − 是闭线性子空间，根据 Hahan-Banach 定理， 存 在 * * x Xx y ∈ ≠ , ( ) 0, 但在 R( ) λI A − 上 * x = 0 . 由此，一方面 ∀ ∈x X , ' y I Ax R I A =−∈ − ( )( ) λ λ ， * ** (( ) , ) λI − Axx * *' = −= = ( ,( ) ) ( ) 0. x I Ax x y λ 这说明 * ** * * * ( ) 0, ( ). λ λ I − =∈ − Ax x N I A 另一方面由 * x y() 0 ≠ 知 道 * * yNI A ⊥ − ( ) λ 不成立，从而出现矛盾 , 故 yRIA ∈ ( ) λ − ，所以存在 x X ∈ ，使得 y I Ax = − ( ) λ . 2D 若对于 * * y X ∈ ，方程 * ** * ( ) λI − Ax y = 有 解 * x ， 则 ∀∈ − x NIA ( ) λ ， * * ** * y x I A x x x I Ax ( ) (( ) , ) ( ,( ) ) 0 = λ λ − = −= ，故 * y NIA ⊥ − ( ) λ . 反之，若 * y NIA ⊥ − ( ) λ ，对于任意的 yRIA ∈ ( ) λ − ，不妨设 y I Ax = − ( ), λ 令 * * 0 yy yx () () = ，我们将验证 * 0 y 是 R( ) λI A − 上的连续 线性泛函. 首先 * 0 y 有确定的意义. 实际上，若另有 ' y I Ax = − ( ) λ ,则 ' ' ( )( ) 0, ( ) λ λ I − − = −∈ − Ax x x x N I A ， 但 * y NIA ⊥ ( ) λ − ，所以 * * * ** yx x yx yx ( ) 0, ( ) ( ) −= = ，这说明 * 0 y y( )由 y 惟一确定. * 0 y 在 R( ) λI A − 上是线性的，现在证明 * 0 y 连续.设 ( ) n y RIA ∈ λ − ， 不妨设 ( )0 n n y I Ax = λ − → ，根据引理 2 中 R( ) λI A − 为闭子空间的证