明,存在a>0,‖(A/-A)xaxl.即‖y‖=‖(4-A)xn|alx‖ 于是{xn}为有界序列,A紧,不妨设Ax→>x·对yn=(I-A)x两 端取极限得到,Axn→>x,由A/-A的连续性又得到 (l-A)x= lim a(al-A)x= lim Ay=0 于是x∈N(A/-A),所以y(x)=0 yo(m)=yo(a1-Ax=y(xn)>y(xo)=0, 这说明对于任一序列yn→>0,都可以选出子序列{yn},yo(0n)→>0.,故 必有y0(y)→>0,y连续 根据Hahn- Banach定理,存在x∈X,在R(l-A)上 x(y)=y(y)现在对于任何x∈X, ((r-Ax,x)=(x, (27-A)x)=(xo, (1-A)x) =y(y)=y(x) 故y=(-A)x,x是方程的解 定理3设X是 Banach空间,A∈C(X),A≠0,A是A的共轭算 (1)G(A)=(A) (2)设A,H∈o(A),x是A的相应于A的特征向量,x是A的 相应于的特征向量,A≠p,则x⊥x N(a-A)⊥N(-A) (3)若λ∈a(A),A≠0,则dimN(/-A)=dimN(A-A) 证明1°注意到A也是紧算子,故当A≠0时,A不是A的 特征值,A一定是正则点.若dmX<∞,相应于A的矩阵是相应于A 的矩阵的转置,根据线性代数的知识,二者有相同的特征值,结论成 若dmX=∞,由定理l(3),0∈o(A),同时dimX=∞,于是 0∈σ(A).现在设λ≠0,我们只须证明A∈p(A)当且仅当8 明，存在 a > 0, || ( ) || || || λI − ≥ Ax a x . 即 || || || ( ) || || || n n y I Ax a x = λ − ≥ . 于是 { }n x 为有界序列，A 紧，不妨设 0 k A n x x → . 对 ( ) k k n n y I Ax = λ − 两 端取极限得到， 0 k n λx → x ，由 λI A − 的连续性又得到 0 ( ) lim ( ) lim 0 k k k k n n n n λI Ax I Ax y λλ λ →∞ →∞ −= − = = ， 于是 0 x ∈ − NIA ( ) λ ，所以 * 0 y x( ) 0, = ** * * 00 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, k kk n nn y y y I Ax y x y x λ λ = −= → = 这说明对于任一序列 0 n y → ，都可以选出子序列 * 0 { }, ( ) 0, k k n n y yy → 故 必有 * * 0 0 ( ) 0, n yy y → 连续. 根 据 Hahn-Banach 定理，存在 * * x ∈ X , 在 R( ) λI A − 上 * * 0 x ( ) ( ). y yy = 现在对于任何 x∈ X , * ** * * 0 (( ) , ) ( ,( ) ) ( ,( ) ) λ λλ I − = −= − A x x x I Ax x I Ax * * 0 = = yy yx ( ) ( ). 故 * * *** y I Axx = − ( ), λ 是方程的解. 定理 3 设 X 是 Banach 空间， * A CX A ∈ ≠ ( ), 0, λ 是 A 的共轭算 子. 则 （1） * σ σ ( ) ( ). A A = （2） 设 λ, ( ), µ σ ∈ A x 是 A 的相应于 λ 的特征向量， * x 是 * A 的 相应于 µ 的特征向量， λ ≠ µ, 则 * x ⊥ x ，从而 * * NIA N I A ( )( ) λ µ −⊥ − . （3）若 λ ∈ ≠ σ λ ( ), 0 A ，则 * * dim ( ) dim ( ) NIA NI A λ λ −= − . 证明 1 D 注意到 * A 也是紧算子，故当 λ ≠ 0 时， λ 不是 * A 的 特征值，λ 一定是正则点.若 dim X < ∞ ，相应于 * A 的矩阵是相应于 A 的矩阵的转置，根据线性代数的知识，二者有相同的特征值，结论成 立. 若 dim X = ∞ ，由定理 1(3) ， 0 () ∈σ A ，同时 * dim X = ∞ ，于是 * 0 () ∈σ A . 现 在 设 λ ≠ 0 ，我们只须证明 λ ∈ ρ( ) A 当且仅当