24*shasin+(S2 +S)(chAsinA-shacosa) +S2S(1-chAcosa)=0 (21) 此式与文献〔1)所导出的结果完全一致。· (2)一端受铰支和扭簧约束，另一端自由。 这种情祝在(15)、(16)中令Ss=S4=0,且S,→∞，则C3和C4的系数行列式可简化 为 Cp2()p3(元)-p1(1)P4())+S2〔p(元)-p1(1)p3(元)门=0 通过式(6)的关系可以进一步化成 2(sh2cos元-chAsin)+Sa(1+ch1cos元)=0 (22) 此式与文献〔2]所得的结果等价。 (3)一端受拉压弹簧和扭转弹簧约束，另一端自由。 这种情况在(15)、(16)中只令S3=S4=0,C3和C,的系数行列式简化为 元[P()-p:(元)Pg(元)门+S2九3〔p3()p4(元)-P:()p2()门 +S:〔p2()p3(2)-p1(元)p4()]+S:S2〔p()-p1()p3(元)门=0 通过式(6)的关系可以进一步化成： (1-chAcosa)-S243 (shacos+chAsina) +元S1(sh元cosA-ch元sin)+S:S2(1+chAcos1)=0 ··(23) 此式与文献〔3)所得到的频率方程一致。 本文公式还包括其它一些尚不多见的问题。例如梁的一端受较链及扭簧约束，另一端为 铅垂滑道（即此端转角为0，且挠度任意)，这种情况可在(15)和(16)中令1-→∞，S4→ ∞，S3=0。其频率方程为： S〔P:(2)p2()-p3(2)p,()门+CP3()-p(1)门=0 或 S2 (shAcosa chAsin)+24chAcos =0 (24) 3结 论 本文导出的频率方程（或(15)、(16)的系数行列式方程)和振型公式（式(17）、(18)、 (19)、(20)具有一般性。这些一般公式简单的原因在于引进了有其特定性质的函数P1(x), ·,P,(×)。在实际问题中常常根据具体情况忽略或强调某些因素，使问题简化。也可以把这 些公式编成通用的计算机程序，使得任意约束条件的振动系统都能很快地得到它们的各阶频 率数值和振型曲线。 参考文献 1 Passig E G.Nuclear Engincering and Design,1970,14:198-200 2 Chun K R.Journal of Applied Mechanics,1972,39:1154 3 Fosstan R,Sorensen A.Journal of Mechanical Design,1980,102:829 402久 2 戈 s h又 5 i 久 久n + ( S : + S ` ) ( e h久 s i 久一 n s h久 e 久 o s ) + S : 5 4 ( 一 l e h久 e 久 o s ) = o ( 1 2 ) 此 式与文 献 〔 1〕所导出的结果完全一致 。 。 ( 2 ) 一 端受铰支和 扭簧约 束 , 另一端 自由 。 这 种情况在 (1 5 ) 、 ( 1 6) 中令 S : = S ` = O , 且 S ; ` co , 则 C 3 和 C ` 的系 数行列 式可简化 为 久〔甲: (久) 甲: ( 久) 一 甲 t ( 久) 甲` ( 又) 〕 + S : 〔沪置( 久) 一 甲: ( 久) 甲 , ( 几) 〕 = 0 通 过 式 ( 6) 的关 系可 以进 一步 化成 久( s h 久e o s 久一 e h又s i n 久) + S : ( 1 + e h 大e o s 几) = o ( 2 2 ) 此 式与文 献〔幻 所得的结果等价 。 ( 3 ) 一端 受拉压弹簧和 扭转弹簧约 束 , 另 一端 自由 。 这种 情况 在 ( 1 5 ) 、 ( 1 6) 中只令 5 3 = S ` 二 o , C 3 和 C ` 的系 数行 列式简化为 久 ` 〔甲泛( 久) 一 甲 , ( 久) 甲 3 ( 久) 〕 + 5 2 久 “ 〔甲: ( 久) 甲 ; ( 几) 一 甲 , ( 久) 甲 : ( 久) 〕 + 久S , 〔中 : ( 久) 切 : (久) 一 甲 , (久) 甲 ; ( 几)〕 + S : S : 〔甲妾(几) 一 甲 ; ( 几) 甲 3 ( 久)〕 = 0 通 过 式 ( 6) 的关 系可 以进 一步化成 : 久4 ( 1 一 e h久e o s 久) 一 5 2久s ( s h 久e o s 几+ e h 又s i n 久) + 几S : ( s h几e o s久一 e h久s i n 几) + 5 1 5 2 ( l + e h 久e o s 又) = o ’ ( 2 3 ) 此 式 与文献 〔3 〕所得 到的 频率方程一致 。 本文公 式还 包括其它 一 些 尚不 多见 的问题 。 例如 梁的 一端 受铰 链 及扭簧约束 , 另 一端 为 铅垂滑 道 (即此 端 转角为。 , 且挠度任意 ) , 这 种情 况 可 在 ( 1 5 )和 ( 1 6) 中令 S , 、 o , S ; , co , 5 3 二 。 。 其频率方程 为 : 或 S : 〔甲 , ( 久) 甲: (久) 一 伊 3 ( 几) 甲 ` ( 久)〕 + 久〔甲 鑫( 久) 一 甲聋(几) 〕 二 0 S : ( s h 久e o s又+ 。 h久s i n 几) + 2久e h 久e o s几 = o · ( 2 4 ) 3 、 结 论 本文 导出的频率方程 ( 或 ( 1 5 ) 、 ( 1 6) 的系 数行 列式方程 ) 和 振 型公式 ( 式 (1 7 ) 、 ( 1 8 ) 、 l( 9) 、 (2 0) ) 具有一般性 。 这 些 一般公 式简单的原 因在于 引进了有其特定性质的 函 数甲 1 ( “ ), 甲` ( 二 ) 。 在实 际问题 中常常根据具体情况 忽略或强 调某些 因素 , 使问题简化 。 也可 以把这 些 公 式编 成通 用 的计 算机 程序 , 使得任意约 束条件的振 动系 统都能很快地得到它们 的各阶颇 率 数值和 振 型 曲线 。 今 考 文 献 P a s , 1 9 E G . N u e l e a r C h u n K R 。 J o : : r n a l F o s s r n a n R 一 S o r e n s e n E n g i n o e r i n g a n d D e s i g n , 2 9 7 0 , 1 4 : 1 9 8 一 2 0 0 o f A p p li e d M e e h a n i e s , 1 9 7 2 , 3 9 : 、 工2 5 4 A . J o u r n a l o f M e e h a n i e a l D e s i g n , 1 9 8 0 , 1 0 2 : 8 2 9 4 0 2