第中章重积分 解:由函数与域的对称性 I=lll(x+y+=]v==dv 球坐标系:1==a= jdo ae cOser"Sin?b= 柱坐标系:=0=x; 8 直角坐标系:I=「「d cdeT 先对xy积分 1=jb==m+=-=)k=R 7.设∫:ΩcR3→R,f∈C" Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Ma(P)P∈S),vP∈|gd川≤M 证明:=顶/(x y,hv≤A 其中,;V是域Ω的体积,P∈Ω,彐∈S。 证:f(x,y,z)=f(P) o/(P) a 2) (xy:kh=(+、 x,] 4+grad ≤A+M(R-) x2+y2+-2≤R2 ≤A⊥MR兀 MR 即:V/力(x=≤A+M 重积分习题讨论第四章 重积分 重积分习题讨论 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ; 直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 7. 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0  ( )  + +    + −  2 2 2 2 x y z R A V M R r dv        + = + 3 4 4 M R V A MR AV  ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +  