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第1期 杨尚玉等：改进的主元分析法在连铸结晶器过程监测中的应用 ,81 X=+=空知+E PCA模型对连铸结晶器的过程监测具有更强的有 (2) 效性，利用主元相关变量残差(PVR)统计量和一般 其中，X为利用主元模型中保留的k个主元来对X 变量残差(CVR)统计量代替平方预测误差Q统计 的预测值：E为残差矩阵，它反映了主元模型预测 量.改进的PCA充分利用了T统计量，能够更有 的误差和噪声， 效地对过程故障进行诊断 得分矩阵T、载荷矩阵P可通过奇异值分解X 设过程有m个监测变量，其中s个与主元显著 的协方差矩阵=XrX/(n一1)获得： 相关，其构成的残差为PVR统计量；剩下的m一s E=PA-IPT (3) 个变量构成的残差为CVR统计量，PVR统计量和 T-XP (4) CVR统计量分别定义为]： 其中，入是由协方差矩阵Σ的特征值所组成的对角 PVR=X(I-PPT)X (9) 矩阵，令入≥2≥…≥入m,入(i=1,2,…,m)为各 CVR=Xm-(I-Pm-,PT-,)XI-:(10) 过程变量的方差，主元个数k可以利用方差贡献率 其中，s和m一s分别代表过程数据矩阵X和载荷 大于预先设定的阀值确定，比如： 矩阵P中对应于主元相关变量和一般变量取值， 空空≥80% (5) 主元相关变量的确定可以计算各变量与主元的 复相关系数Y1o.设T:∈Tk,X:与T:的复相关系 这样就实现了原数据集的降维处理，利用低维 数的平方为： 的主元模型对生产过程状态进行监测，具体实现过 程是通过观察多变量统计控制图对多变量工况进行 =它p, (11) 监控，常用的统计量图有Hotelling T统计量图、平 其中，入为协方差矩阵∑的特征值；P.∈Px,由式 方预报误差SPE(或Q)图.T统计量定义为： (3)求得 T=≤-1。 (6) 计算PVR统计量和CVR统计量的控制限，注 意到，Q=PVR十CVR,因此可以利用下式对两统计 其中，t∈T;F,m-1,是对应于检验水平为a,自由 量的控制限进行估计： 度为k,m一1条件下的F分布临界值，可从统计表 Q.=PVRa十CVR。=PVRO.+PCVR Qa(12) 中查到，Q统计量定义为： Q=ee=X(I-PP)XT≤Q。 (7) 其p,+=1,=1-盒x会 其中，e∈E.Qa的计算公式为： 建立好的PCA模型就可以把T统计量、Q统 0.=gC2函+1+h-1 计量、PVR统计量和CVR统计量应用于过程监测. 01 主元相关过程变量发生小的变化时，也能很好地诊 其中4=名=12.3-1爱c是 断出过程故障，使得PCA具有更强的故障诊断能 力 一个高斯分布的(1一a)%的置信极限 以上具体计算过程可参考文献[2,7一8]，计算 3连铸结晶器过程监测研究 方法的实现可利用MATLAB软件 基于板坯连铸结晶器摩擦力(mould friction,简 在实际应用中，主要通过评估残差空间E来判 称MDF)实测数据，选择振频、功率、MDF和MDF 断生产过程的状态，一旦Q图变化比较大，可以诊 摩擦力均方根四个监测变量建立PCA模型.选取 断过程中有故障发生，然而，在T统计量变化比较 正常工况下实测的1000个数据样本，进行主元分 大而Q变化不明显时，这可能是工况改变引起，也 析.前两个主元能够解释83.6%的数据变化，故保 可能是由故障所致，从而导致误判和漏判的可能性， 留前两个主元作为主元模型，利用式(6)获得T2统 主要的原因是对残差空间评价不充分，不能提供出 计量控制限为11.3271（α=99%）；利用式(8)计算 更详细的过程变化信息，由式(2)和式(7)可知，Q Q统计量的控制限为4.412(a=99%)和2.931 代表的是所有被监测变量的信息，存在有保守性， (α=95%)，主元相关变量由过程变量与主元间的 2主元相关变量残差统计量 复相关系数和相关系数共同确定，经计算，获得振 频、功率、MDF和MDF均方根与主元间的复相关 为了克服传统PCA中Q统计量的保守性，使 系数Y分别为0.9971、0.9538、0.9345和0.9058.X＝＾X＋ E＝ ∑ k i＝1 tip T i ＋ E （2） 其中＾X 为利用主元模型中保留的 k 个主元来对 X 的预测值；E 为残差矩阵它反映了主元模型预测 的误差和噪声． 得分矩阵 T、载荷矩阵 P 可通过奇异值分解 X 的协方差矩阵Σ＝X T X／（ n—1）获得： Σ＝Pλ—1P T （3） T＝XP （4） 其中λ是由协方差矩阵Σ的特征值所组成的对角 矩阵．令 λ1≥λ2≥…≥λmλi（ i＝12…m）为各 过程变量的方差．主元个数 k 可以利用方差贡献率 大于预先设定的阀值确定比如： ∑ k i＝1 λi ∑ m i＝1 λi≥80％ （5） 这样就实现了原数据集的降维处理利用低维 的主元模型对生产过程状态进行监测．具体实现过 程是通过观察多变量统计控制图对多变量工况进行 监控常用的统计量图有 Hotelling T 2 统计量图、平 方预报误差 SPE（或 Q）图．T 2 统计量定义为： T 2＝tλ—1t T≤ k（ k—1） m—k Fkm—1α （6） 其中t∈ T；Fkm—1α是对应于检验水平为α自由 度为 km—1条件下的 F 分布临界值可从统计表 中查到．Q 统计量定义为： Q＝ee T＝X（ I—PkP T k）X T≤ Qα （7） 其中e∈ E．Qα的计算公式为： Qα＝θ1 Cα 2θ2h 2 0 θ1 ＋1＋ θ2h0（ h0—1） θ2 1 1 h0 （8） 其中θi＝ ∑ m j＝k＋1 λj i（ i＝123）h0＝1— 2θ1θ3 3θ2 2 Cα是 一个高斯分布的（1—α）％的置信极限． 以上具体计算过程可参考文献［27—8］．计算 方法的实现可利用 MATLAB 软件． 在实际应用中主要通过评估残差空间 E 来判 断生产过程的状态．一旦 Q 图变化比较大可以诊 断过程中有故障发生．然而在 T 2 统计量变化比较 大而 Q 变化不明显时这可能是工况改变引起也 可能是由故障所致从而导致误判和漏判的可能性． 主要的原因是对残差空间评价不充分不能提供出 更详细的过程变化信息．由式（2）和式（7）可知Q 代表的是所有被监测变量的信息存在有保守性． 2 主元相关变量残差统计量 为了克服传统 PCA 中 Q 统计量的保守性使 PCA 模型对连铸结晶器的过程监测具有更强的有 效性利用主元相关变量残差（PVR）统计量和一般 变量残差（CVR）统计量代替平方预测误差 Q 统计 量．改进的 PCA 充分利用了 T 2 统计量能够更有 效地对过程故障进行诊断． 设过程有 m 个监测变量其中 s 个与主元显著 相关其构成的残差为 PVR 统计量；剩下的 m— s 个变量构成的残差为 CVR 统计量．PVR 统计量和 CVR 统计量分别定义为［9］： PVR＝Xs（ I—PsP T s ）X T s （9） CVR＝Xm—s（ I—Pm—sP T m—s）X T m—s （10） 其中s 和 m— s 分别代表过程数据矩阵 X 和载荷 矩阵 P 中对应于主元相关变量和一般变量取值． 主元相关变量的确定可以计算各变量与主元的 复相关系数 γ［10］．设 Ti∈TKXi 与 Ti 的复相关系 数的平方为： γ2＝ ∑ k i＝1 λiP 2 ij （11） 其中λi 为协方差矩阵Σ的特征值；Pij∈ PK由式 （3）求得． 计算 PVR 统计量和 CVR 统计量的控制限注 意到Q＝PVR＋CVR因此可以利用下式对两统计 量的控制限进行估计： Qα＝PVRα＋CVRα＝ωPVR Qα＋ωCVR Qα （12） 其中ωPVR＋ωCVR＝1ωPVR＝1— ∑ s i∈PVR γi ∑ m i＝1 γi． 建立好的 PCA 模型就可以把 T 2 统计量、Q 统 计量、PVR 统计量和 CVR 统计量应用于过程监测． 主元相关过程变量发生小的变化时也能很好地诊 断出过程故障使得 PCA 具有更强的故障诊断能 力． 3 连铸结晶器过程监测研究 基于板坯连铸结晶器摩擦力（mould friction简 称 MDF）实测数据选择振频、功率、MDF 和 MDF 摩擦力均方根四个监测变量建立 PCA 模型．选取 正常工况下实测的1000个数据样本进行主元分 析．前两个主元能够解释83∙6％的数据变化故保 留前两个主元作为主元模型．利用式（6）获得 T 2 统 计量控制限为11∙3271（α＝99％）；利用式（8）计算 Q 统计量的控制限为4∙412（α＝99％） 和2∙931 （α＝95％）．主元相关变量由过程变量与主元间的 复相关系数和相关系数共同确定．经计算获得振 频、功率、MDF 和 MDF 均方根与主元间的复相关 系数 γ分别为0∙9971、0∙9538、0∙9345和0∙9058． 第1期 杨尚玉等： 改进的主元分析法在连铸结晶器过程监测中的应用 ·81·