例18设lm存在.若limb=0,则 lim a=0 例19设an>0.1man=a求证:mya2…an=a Ex[1jP4410(,12;(提示101)和12,见下面) 4]P81-8282,84(1),108,109,11,112 提示:100:设a1+a2+…+an=Sn,则有∑k=nSn-∑S,和 Sk-S 注意利用均值极限定理, n k= iSn=lm=∑S,lm=0,即得所证 设a1+a2+…+an=Sn,有一→a,注意利用下式 Sn sn- ns,-Sn-nsn-I na,-sni-a, (n-Dam -sm- a, 1 sn nn H(n-1) n(n-1) n(n-1) n nn-1 n→∞时,上式左端趋于零,右端第二项也趋于零,→一→0 无穷大量:先介绍三种无穷的直观意义 无穷大量的定义: 例20设|q|>1,证明:{q"}是无穷大量 例21证明 是正无穷大量 n+5 2.无穷大量的性质 Th1设{xn}是无穷大量,{y}是数列,且彐δ>0和N,Vn>N时ynP, 则数列{xnyn}是无穷大量 系设{xn}是无穷大量,imyn=b≠0.则数列{xyn}和{}都是无穷大量 同号无穷大的和是无穷大量,两个无穷大量的积是无穷大量例 18 设 n n n b a ∞→ lim 存在. 若 = ,0lim∞→ n n b 则 = .0lim∞→ n n a 例 19 设a aa .lim ,0 求证: n n n > = ∞→ lim . n 21 n aaaa n = ∞→ " Ex [1]P44 10⑴，12；（ 提示 10⑴和 12， 见下面） [4]P81—82 82，84⑴，108，109，111，112. 提示：10⑴： 设 , + 21 " =++ Saaa nn 则有 ∑ ∑ , 和 = − = −= n k n k nk k SnSka 1 1 1 n S S n SSS n Ska n n n k nn k n k n k n k k ⎟ +−= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ −= ∑ − ∑ =1 =1 =1 1 1 1 . 注意利用均值极限定理, ∑= ∞→ ∞→ = n k k n n n S n S 1 1 limlim , = 0lim∞→ n Sn n , 即得所证. 设 , + 21 +"+ = Saaa nn 有 a, n Sn → 注意利用下式: , 1 1 )1( )1( )1(1 )1( 1 1 1 1 1 − −= − − − = − − − = − − − = − − − − − − − n S nn a nn San nn aSna nn nSSnS n S n S nn nnn nnn nn n n n ∞→ 时，上式左端趋于零，右端第二项也趋于零， →⇒ 0 n an . 无穷大量：先介绍三种无穷的直观意义 无穷大量的定义： 例 20 设 ，证明： 是无穷大量 | q > 1 | }{ . n q 例 21 证明: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − 5 1 2 n n 是正无穷大量. 2. 无穷大量的性质: Th 1 设 是无穷大量 xn }{ , yn }{ 是数列, 且 ∃δ > 0 和 ∋ , ∀ > NnN 时 ≥ δ ,|| n y 则数列 }{ 是无穷大量. nn yx 系 设 是无穷大量 }{ , n x lim = ≠ 0 ∞→ byn n . 则数列 和}{ nn yx ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量. 同号无穷大的和是无穷大量, 两个无穷大量的积是无穷大量. 14