(3) lim x"sin-={1a=1。 (4)1m(1+1)=+0,m1+1)=0,所以m(1+1)极限不存 x→+ 在 (5)lim1+ (6)取x=n形1则m li 所以lim 极限不存在 7.设函数 2 f(x) 1+ 问当x→0时,f(x)的极限是否存在? 解由于lmf(x)=m/3x。 0+1=1 sIn x lim f(x)=lim 所以 1 limf(r)=lim/2+ex,sinx x 8.设imf(x)=A(a≥0),证明:imnf(x2)=A。 证设imf(x)=A(a≥0),则vE>0,>0,Wx0<x-<a),有 f(x)-A<s。取 =min -}>0,则当0-<6时,首先有 于是0<2-=(x+a(x-)<8,从而 (x2)-4<E,这就说明了mf(x)=A。 9.(1)设lmf(x3)=A,证明:limf(x)=A。（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = < = →+∞ 1 1 1 0 1 1 lim sin α α α α x x x 。 （4） x→+∞ lim ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 x x ， x→−∞ lim 0 1 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x ，所以limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 极限不存 在。 （5）limx→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x 2 1 1 1。 （6）取 n xn ' 1 = ， 2 1 " 1 + = n xn ，则n→∞ lim 0 1 1 ' ' =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ，n→∞ lim 2 1 1 1 " " =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ， 所以 limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 极限不存在。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x)的极限是否存在？ 解 由于 = → + lim ( ) 0 f x x 0 1 1 sin 1 2 lim 4 1 1 0 = + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + → + x x e e x x x ， = → − lim ( ) 0 f x x 2 1 1 sin 1 2 lim 4 1 0 = − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + → − x x e e x x x ，所以 1 | | sin 1 2 lim ( ) lim 4 1 0 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = → → x x e e f x x x x x 。 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f (x) lim x a → f x( ) 2 = A 。 证 设lim = A（a≥0），则 x a → f x( ) ∀ε > 0，∃δ '> 0，∀x(0 < x − a < δ ')，有 f (x) − A < ε 。取 0 1 2 ' min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38