(2)设!mf(x)=A,问是否成立imn/(x)=A 证(1)设lmf(x3)=A,则v>0,彐0>0,Vx(0<<)(即 x→0 0<1<83),有y(x)-4<。取6=0>0,则当0<<6时,有 0<3<8,从而(x)-4<E,这就说明了mf(x=A x>0 (2)当limf(x2)=A时,不一定成立imf(x)=A6例如:f(x)=10x<0 则limf(x2)=1,但极限limf(x)不存在。 10.写出下述命题的“否定命题”的分析表述: (1){xn}是无穷小量 (2){xn}是正无穷大量; (3)f(x)在x0的右极限是A 4)f(x)在x的左极限是正无穷大量 5)当x→-∞,f(x)的极限是 (6)当x→+∞,f(x)是负无穷大量 解(1)350>0,VN,彐n>N:|xl≥60 (2)3Gn>0,V (3)360>0,v6>0,3x∈(x0x0+6):(x)-4≥5° (4)3G0>0,V6>0,3x∈(x0-6,x):f(x)≤Go (5)360>0.X>0,3x∈(--X):/(x)-A≥6 (6)3G0>0,VX>0,x∈(X+∞):f(x)≥-G0 1l.证明limf(x)=+∞的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x 的数列{xn}(xn>x0),成立 lim f(x 证必要性:由limf(x)=+∞,可知vG>0,36>0,vx(0<x-x0<) f(x)>G。因为数列{xn}(xn>x)收敛于x0,对于上述δ>0,3N, Ⅶn>N:0<xn-x0<6。于是当n>N时,成立f(xn)>G,即 limf(xn)=+∞ 充分性:用反证法。设limf(x)=+∞不成立,则彐Go>0,vδ>0, x(0<x-x0<):f(x)≤G。取δ=-,n=12,3, 对于δ1=1,3x1(0<x1-x0<1):f(x)≤G0;(2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 证 （1）设 = A，则 0 lim x→ ( ) 3 f x ∀ε > 0 ， ∃δ '> 0 ， ∀x(0 < x < δ ') （即 3 3 0 < x < δ ' ），有 f (x ) − A < ε 3 。取δ = δ ' 3 > 0 ，则当 0 < x < δ 时，有 3 1 0 < x < δ '，从而 f (x) − A < ε ，这就说明了 = A 。 0 lim x→ f (x) （2）当 = A 时，不一定成立 = A。例如： ， 则 ，但极限 不存在。 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) ⎩ ⎨ ⎧ < > = 0 0 1 0 ( ) x x f x 0 lim x→ ( ) 1 2 f x = 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f (x) 在 x0 的右极限是 A； (4) f (x) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f x( ) 是负无穷大量。 解（1） 0 0 ∃ε > 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x 。 （2）∃G0 > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G0。 （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε 。 （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G 。 （5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε 。 （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G 。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ } ，成立 limx x → +0 f x( ) + ∞ x0 xn ( ) 0 x x n > limn→∞ f xn ( ) =+ ∞。 证 必要性：由 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ ，可知∀G > 0，∃δ > 0， (0 ) ∀x < x − x0 < δ ： f (x) > G 。因为数列{ xn } (xn > x0 ) 收敛于 x0 ，对于上述δ > 0 ， ， ： ∃N ∀n > N 0 < xn − x0 < δ 。于是当 时，成立 ， 即 = 。 n > N f (xn ) > G limn→∞ f xn ( ) + ∞ 充分性：用反证法。设 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ 不成立，则∃G0 > 0，∀δ > 0， (0 ) ∃x < x − x0 < δ ： f (x) ≤ G0。取 n n 1 δ = ，n = 1,2,3,"： 对于 1 δ 1 = ， (0 1) ∃x1 < x1 − x0 < ： 1 0 f (x ) ≤ G ； 39