对于62=,3x2(0<x2-x<):f(x2)≤G 对于k,3x4(0<x4-x<):f(x) 于是得到数列{xn}(xn>x0)收敛于x0,但相应的函数值数列{f(xn)不 可能是无穷大量,由此产生矛盾,所以limf(x)=+∞成立。 12.证明imnf(x)=-∞的充分必要条件是:对于任意正无穷大量{xn}, 成立 limf(xn)=-∞ 证必要性:由limf(x)=-∞,可知vG>0,3x>0,x>X:f(x)<-G。 因为数列{xn}是正无穷大量,对于上述x>0,N,Ⅶm>N:xn>X。 于是当n>N时,成立f(xn)<-G,即limf(xn)=-∞ 充分性:用反证法。设lmf(x)=-∞不成立,则3G0>0,X>0,3x>X f(x)≥-G0。取x n=n,n=1,2,3, 对于X1=1,3x1>1:f(x1)2-G0 对于X2=2,3x2>2:f(x2)2-G0; 对于Xk=k,3xk>k:f(xk)≥-C 于是得到数列{xn}为正无穷大量,但相应的函数值数列{(xn)不可能 是负无穷大量,由此产生矛盾,所以imf(x)=-∞成立。 13.证明limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意正无穷 大量{x,},相应的函数值数列{f(xn)}收敛。 证必要性:设imf(x)=A,则vE>0,3X>0,wx>X:|f(x)-AkE 因为数列{xn}是正无穷大量,对于上述X>0,丑N,Ⅶn>N:xn>X。 于是当n>N时,成立f(xn)-Ak<E,即imf(xn)=A 充分性:因为对于任意正无穷大量{xn},相应的函数值数列 ∫(xn)}收敛,我们可以断言{∫(xn)}收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{xn}与{xn},使得lmnf(xn)=A,inf(xn)=B,且A≠B, →0 n→① 则取x2n=xn,x2n=x"n,{xn}仍然是正无穷大量,但相应的函数值 数列{f(xn)}不收敛 设{∫(x,)}都收敛于同一个极限A,现用反证法证明limf(x)=A。对于 2 1 δ 2 = ， ) 2 1 (0 ∃x2 < x2 − x0 < ： 2 0 f (x ) ≤ G ； ", 对于 k k 1 δ = ， ) 1 (0 0 k x x x ∃ k < k − < ： 0 f (xk ) ≤ G ； ", 于是得到数列{ } 收敛于 ，但相应的函数值数列{ }不 可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn ( ) 0 x x n > x0 ( ) n f x limx x → +0 f x( ) + ∞ 成立。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f x( ) − ∞ xn limn→∞ f xn ( ) =− ∞。 证 必要性：由 = x→+∞ lim f (x) − ∞，可知∀G > 0，∃X > 0，∀x > X ： 。 因为数列{ }是正无穷大量，对于上述 ， f (x) < −G xn X > 0 ∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N f (xn ) < −G ，即lim = n→∞ f xn ( ) − ∞。 充分性：用反证法。设 = x→+∞ lim f (x) − ∞不成立，则∃G0 > 0，∀X > 0， ： 。取 ， ： ∃x > X 0 f (x) ≥ −G Xn = n n = 1,2,3," 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 f (x ) ≥ −G ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 f (x ) ≥ −G ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 f (xk ) ≥ −G ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不可能 是负无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn f (xn )} x→+∞ lim f (x) − ∞成立。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷 大量{ }，相应的函数值数列{ }收敛。 limx→+∞ f x( ) xn f xn ( ) 证 必要性：设 lim ，则 x→+∞ f (x) = A ∀ε > 0，∃X > 0，∀x > X ：| f (x) − A |< ε 。 因为数列{ xn }是正无穷大量，对于上述 X > 0，∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N | f (x ) − A |< ε n ，即n→∞ lim f (xn ) = A。 充分性：因为对于任意正无穷大量{ xn }，相应的函数值数列 { }收敛，我们可以断言{ }收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{ }与{ }，使得 f xn ( ) f xn ( ) n x' n x" f x n A n = →∞ lim ( ' ) ， f x n B n = →∞ lim ( " ) ，且 A ≠ B ， 则取 ， ，{ }仍然是正无穷大量，但相应的函数值 数列{ }不收敛。 n n x x' 2 −1 = n n x x" 2 = xn f xn ( ) 设{ f x( n ) }都收敛于同一个极限 A，现用反证法证明 lim 。 x→+∞ f (x) = A 40