设limf(x)=A不成立,则30>0,x>0,3x>X:|f(x)-AEE0 取Xn=n 对于X1 ∫(x1)-AE0; 对于 If(x2)-AP Eo 对于Xk=k,3xk>k:|f(xk)-AEc0; 于是得到数列{xn}为正无穷大量,但相应的函数值数列{f(xn)不收敛 于A,由此产生矛盾,所以imf(x)=A。 14.分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy收敛原理,并加 以证明: (1) lim f(x);(2) lim f(x):(3) lim f(x) 解(1)极限limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意给 定的E>0,存在δ>0,对一切x,r∈{0<x-x|<6},成立 If(r)-f(r"<E 先证必要性。设limf(x)=A,则vE>0,3δ>0, vx,x∈{0<1x-x0k6}:|f(x)-4k5,1f(x)-4k5。于是 f(x')-f(x")|f(x')-A|+|f(x")-Ak<E 再证充分性。任意选取数列{xn},xn≠x,imxn=x,则对于条件中 1→0 的>0,丑N,Ⅶn>N:0<xn-x<6。于是当m>n>N时,成立 (xm)-f(xn)<E。这说明函数值数列{(x是基本数列,因而收敛 再根据相应的 Heine定理,可知limf(x)存在而且有限 (2)limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意给定的 x→x0+ E>0,存在。>0,对一切x,x∈0<x-x0<6},成立(x)-f(x)<。 先证必要性。设imf(x)=A,则vE>0,3>0, x,x∈{0<x-x<}:(x)-4k5,1f(x")-4k5。于是 f(x)-f(x")|∫(x)-A|+|f(x")-AkE。 再证充分性。任意选取数列{xn},xn>x,lmxn=x0,则对于条件中 的δ>0,丑N 0<xn-x0<δ。于是当m>n>N时,成立 (xm)-f(xn)<6。这说明函数值数列(xn)是基本数列,因而收敛。 再根据相应的 Heine定理,可知limf(x)存在而且有限设 limx→+∞ f (x) = A不成立，则∃ε 0 > 0，∀X > 0，∃x > X ： 0 | f (x) − A |≥ ε 。 取 Xn = n ，n = 1,2,3,"： 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 | f (x ) − A |≥ ε ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 | f (x ) − A |≥ ε ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 | f (x ) − A |≥ ε k ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不收敛 于 xn f (xn )} A，由此产生矛盾，所以 x→+∞ lim f (x) = A。 14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加 以证明： （1） lim ；（2） ；（3） 。 x x → 0 f x( ) limx x → +0 f x( ) limx→−∞ f x( ) 解 （1）极限 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给 定的 limx x → 0 f x( ) ε > 0，存在δ > 0，对一切 x', x"∈{x 0 < x − x0 < δ }，成立 f (x') − f (x") < ε 。 先证必要性。设x x lim → ，则 0 f (x) = A ∀ε > 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈{x 0 < | x − x0 |< δ }： 2 | ( ') | ε f x − A < ， 2 | ( ") | ε f x − A < 。于是 | f (x') − f (x") |≤ | f (x') − A | + | f (x") − A |< ε 。 再证充分性。任意选取数列{ xn }， 0 x x n ≠ ， 0 lim x x n n = →∞ ，则对于条件中 的 δ > 0 ， ∃N ， ∀n > N ： 0 < xn − x0 < δ 。于是当 m > n > N 时，成立 ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。这说明函数值数列{f (xn )}是基本数列，因而收敛。 再根据相应的 Heine 定理，可知 lim 存在而且有限。 x x → 0 f x( ) （2） x x lim → + 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 0 f x( ) ε > 0，存在δ > 0，对一切 x', x"∈{x 0 < x − x0 < δ }，成立 f (x') − f (x") < ε 。 先证必要性。设x x lim → + ，则 0 f (x) = A ∀ε > 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈{x 0 <x − x0 < δ }： 2 | ( ') | ε f x − A < ， 2 | ( ") | ε f x − A < 。于是 | f (x') − f (x") |≤ | f (x') − A | + | f (x") − A |< ε 。 再证充分性。任意选取数列{ xn }，xn > x0， 0 lim x x n n = →∞ ，则对于条件中 的 δ > 0 ， ∃N ， ∀n > N ： 0 < xn − x0 < δ 。于是当 m > n > N 时，成立 ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。这说明函数值数列{f (xn )}是基本数列，因而收敛。 再根据相应的 Heine 定理，可知x x lim → + 存在而且有限。 0 f x( ) 41