(3)limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意给定的>0, 存在x>0,对一切x,x<-X,成立(x)-f(x")< 先证必要性。设limf(x)=A,则∨s>0,丑x>0,x,x"<-X: f(x)-4k,f(x")-4k5。于是 f(x')-f(x")|f(x')-A|+|f(x")-Ak<E 再证充分性。任意选取数列{xn}, lim x=-0,则对于条件中的x>0, N,Wn>N:xn<-X。于是当m>n>N时,成立f(xm)-f(xn)<E 这说明函数值数列{(xn)是基本数列,因而收敛。再根据相应的 Heine 定理,可知limf(x)存在而且有限。 15.设∫(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x),且limf(x)=A,证 f∫(x)≡A,x∈(0,+∞) 证x∈(0,+∞),利用f(x)=f(2x)得到f(x0)=f(2x),由于 inf(2"xo)=limf(x)=A,得到∫(x)=A,x∈(0,+∞)（3）lim 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 x→−∞ f x( ) ε > 0， 存在 X > 0，对一切 x', x"< −X ，成立 f (x') − f (x") < ε 。 先证必要性。设 x→−∞ lim f (x) = A ，则 ∀ε > 0 ， ∃X > 0 ， ∀x', x"< −X ： 2 | ( ') | ε f x − A < ， 2 | ( ") | ε f x − A < 。于是 | f (x') − f (x") |≤ | f (x') − A | + | f (x") − A |< ε 。 再证充分性。任意选取数列{ xn }， = −∞ →∞ n n lim x ，则对于条件中的 ， ， ： 。于是当 时，成立 X > 0 ∃N ∀n > N xn < −X m > n > N ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。 这说明函数值数列{ 是基本数列，因而收敛。再根据相应的 Heine 定理，可知 存在而且有限。 f (xn )} limx→−∞ f x( ) 15．设 f (x) 在(0,+∞)上满足函数方程 f (2x) = f (x) ，且 ，证 明 limx→+∞ f (x) = A f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 证 ∀x0 ∈ (0,+∞) ，利用 f (x) = f (2x)得到 f (x0 ) = f (2n x0 )，由于 f x f x A x n n = = →∞ →+∞ lim (2 ) lim ( ) 0 ，得到 f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 42