习题3.2连续函数 1.按定义证明下列函数在其定义域连续: (2)y=sin sInx x≠0, 证(1)函数y=√x的定义域是D=0+∞)。设xo∈D,对任意的s>0, 取δ ,当x-x<(x∈D)时,成立 ≤ <E 所以函数y=√x在其定义域连续。 (2)函数y=sin的定义域是D=(-,0(0+∞)。设xo∈D,对任意 的E>0,取b=mm/x01xoC>0,当k-xk<6时,成立 2 X=其 sin sIn xo xo 所以函数y=sin在其定义域连续 (3)图数八「smnx,x≠0,的定义域是D=(一+)。由于 im sin r x 可知函数在x0=0连续。设x0≠0,对任意的s>0,取 min 22(x0|+1) e}>0,当x-x<6时,成立 sinx sin xo o sin x-xsin x rosin x -sin x InXox-x 0 所以,「snx.x≠0在其定义域连续。 2.确定下列函数的连续范围: y= tan x t cSc x (2)y COSx y (4)y=[x]ln(1+x)习 题 3.2 连续函数 1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y = x ； (2) y = sin x 1 ； (3) y = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0. , 0, sin x x x x 证 （1）函数 y= x 的定义域是D = [0,+∞) 。设 x0 ∈ D，对任意的ε > 0， 取δ = ε2 > 0，当 x − x0 < δ （ x ∈ D）时，成立 − ≤ − < ε 0 0 x x x x ， 所以函数 y = x 在其定义域连续。 （2）函数 y = sin 1 x 的定义域是D = (−∞,0)∪(0,+∞)。设 ，对任意 的 x0 ∈ D ε > 0，取 0 2 | | , 2 | | min 2 0 0 > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ δ = ε x x ，当 x − x0 < δ 时，成立 0 1 sin 1 sin x x − 0 1 1 x x ≤ − < ε − < − = 2 0 0 0 0 2 x x x xx x x ， 所以函数 y=sin 1 x 在其定义域连续。 （3）函数 y=⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0 , 0, sin x x x x 的定义域是D = (−∞,+∞)。由于 1 sin lim 0 = → x x x ， 可知函数在 x0 = 0连续。设 x0 ≠ 0，对任意的ε > 0，取 0 2( 1) | | , 2 | | min 0 2 0 0 > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + δ = ε x x x ，当 x − x0 < δ 时，成立 0 0 0 0 0 sin sin sin sin xx x x x x x x x x − − = 0 0 0 0 0 sin sin sin xx x x − x + x x − x ≤ − < ε + < 2 0 0 0 2( 1) x x x x ， 所以 y=⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0 , 0, sin x x x x 在其定义域连续。 2. 确定下列函数的连续范围： ⑴ y = tan x + csc x ； ⑵ y = 1 cos x ； ⑶ y = ( ) x x( x − − + 1 3 1 ) ； ⑷ y = [x] ln (1+x)； 43