证明因为】是X的闭子空间,所以Y是X的完备子空间,由 推论1及引理1,对于任何x∈X,存在唯一vY及κ￥,使 y+2, (7) 又若另有y∈Y及x1∈}1,使x=y+z,则孙1-y=2-2,因y一犭1 ∈Y,x1-∈Y-.千是y1-y=z1-∈F∩={0},因此,y=y1, z=z1,这就证明了X=Y+Y1,证毕 当XY+Z.且Y⊥z时,称X是Y和Z的直交和,记为X Yz,因此(6)式可以写成 X-roY (8) 若y⊥x,x=gz,则写x=引z.定理2告诉我们,当Y是Hi bert空间X的闭子空间时,对每个xx,存在唯一yY及2∈￥, 使x=3Gz,称为x在空间Y上的直交投影,简称为投影.利用 投影,可以定义X到F上的映照P如下:对任一c∈X,令 其中是x在Y上的投影,称P为X到y上的投影算子.读者不 难证明,投影算子具有下列一系列性质 1°P是x到Y上的线性有界算子,且当H{0时,P}=1 2°PX=Y,PY=Y,PY={0} 3°P2=P,其中P=PP 设x是内积空间,M是X的子集,记(M1)2=M,显然 MCM (9) 反之,有下面的引理 引理2设X是 Hilbert空间x的闭子空间则成立 Y=r 证明由(9),只要证明YcY即可.设xY,由投影定 理,存在YcY及zY,使x=y④z.因为x∈X,并且F 是线性空间,所以x-∈Y,因此x=x-y∈y∩Y1={0},即53