a Ow 6x= 6,= 8.= 1 ou 8= 分量形式： y Ox 1 Ex= ow). 1 dv Ow 整体张量形式：T=Wu+u) 2 1 下标形式：5,2+）位/=12,3引 ◆张量的散度和旋度 V.A= -eAne ex =oerAejex An Bex Auex 8 (2.24) A=Aee -ek=Agke,δk=Am,e 张量的散度为矢量。 张量的旋度 V×A=O,e,×Aeek=Ak,Ee,ek (2.25) A×T=A,e,e,×Oes=,kee,e, ◆Gauss公式 ∬Ad=fdsA (2.26) A=∯As 面积分和体积分的关系 ◆Stokes公式 ∬dk(V×A)=∮dlA as (2.27) j∬(a×Vs=-∮Adl 这些公式在弹性力学理论推导和能量原理中有重要应用。 习题 2.1证明：()=3，(2)6，⊙=3，(3)E5t=20,(4)￡球=6，(5)6脉4，A=0 2.2证明：若a=7p(p为标量)，7×a=0:若a=V×b,7a=0。 2.3若u为向量，证明：7×(7u)=0,(u7)×7=0. 6分量形式： , , , 1 ( ), 2 1 ( ), 2 1 ( ). 2 x yz xy xz yz u v w x y z u v y x u w z x v w z y εεε ε ε ε ∂ ∂ = == ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ 整体张量形式： ( ) ∇+∇ u u 1 Γ = 2 下标形式： , , ( ) ( , 1, 2 ij i j j i ε =+ = u u ij 1 2 ,3) ‹ 张量的散度和旋度 , , , , i jk j k i i jk j k jk i ij k ik i i ij i j k ij k i jk ij j i k A AA x A AA x δ δ ∂ ∇ = =∂ = = ∂ ∂ ∇ = = = ∂ A A ii i i i e ee e ee e e ee e e e A k (2.24) 张量的散度为矢量。 张量的旋度 , , i i jk j k jk i ijs s k ij i j k k ij k jks i s A A A A ε ε ∇× ∂ × = ×∇ = ×∂ = A = A e ee e ee e ee e A s (2.25) ‹ Gauss 公式 V V V V dv d dv d ∂ ∂ ∇ = ∇ = ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ A s A A i i i i w w (2.26) 面积分和体积分的关系 ‹ Stokes 公式 ( ) ( ) S S S S d d d d ∂ ∂ ∇× = ×∇ = − ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ A A A A i i i i v v s l s l (2.27) 这些公式在弹性力学理论推导和能量原理中有重要应用。 习题 2.1 证明：(1) 3 ii δ = ，(2) 3 ij ij δ δ = ，(3) 2 ijk rjk ir ε ε = δ ，(4) 6 ijk jki ε ε = ，(5) 0 ε ijk j k A A = 2.2 证明：若a = ∇ϕ (ϕ 为标量)，∇× = a 0；若a b = ∇× ，∇ia = 0 。 2.3 若 为向量，证明： u ∇× ∇ = ∇ ×∇ = ( ) 0, ( ) 0 u u . 6