简洁记法：7p=e, 四=e0,逗号表示求导。 8xi 0 如果是a是向量场，Va=已， Oddu0 0x;0x -+002+u,称为a的 散度。如果a是位移场，则a的散度表示体积应变，如果a是流速，则a的散度表示源或汇 的强度。 e 7×a=- 称为a的旋度，如果a是位移场。则a的 Xi ×ae,=a1.8ek= ax Ox2 Ox a a 43 1 旋度表示局部转动的两倍。(u(r+dr)=u(r)+o×dr+T·dr',o=二(×u) 2 ◆Gauss公式： ∬ar=∯ad,k=nds, Baaa)dv=f(am +dm +am )ds (2.20) 其中n=(n,n2,n)是曲面V的外法方向，该公式给出了体积分和面积分的关系。在弹 性力学三维理论和能量原理的推导中有重要应用。 ◆Stokes公式： ∬(V×a)dk=∮adl as 小-m+必-是%+0-必%h=中a+a+a) (2.21) 0x 0x3 Ox3 Ox1 as 揭示了面积分和线积分的关系。 ◆Green公式(Stokes公式的平面情形) da_au)kdy=重(a,dk+a, (2.22) as ◆矢量的梯度 标量的梯度是矢量，矢量的梯度是张量。 Va=deaej=ajeer (2.23) av=aedje,=aee, 应变张量可以表示为：T=u+u)=)似，十) 2 2 三种表示形式：分量形式、整体张量形式、下标形式。 5简洁记法： i , i x i i ϕ ϕ ϕ ∂ ∇= = ∂ e e ，逗号表示求导。 如果是 是向量场， a 1 2 3 , 1 2 j i i j j ij i i i ii a a a a a a a 3 x x x xx δ x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = == + ∂ ∂ ∂ ∂∂ i i a = e e + ∂ ，称为a 的 散度。如果a 是位移场，则a 的散度表示体积应变，如果 是流速，则 的散度表示源或汇 的强度。 a a 123 , 1 2 123 j j j i ijk k i a a 3 x xxx aa a ε ∂ ∂ ∂ ∇× × = = ∂ ∂ ∂ a = eee e e a ∂ ∂ ，称为 的旋度，如果a 是位移场。则a 的 旋度表示局部转动的两倍。( ( )( , ( ) T u r + = × + ⋅ ∇× d dd r u r) + r r u 1 ω Γ ω= 2 ) ‹ Gauss 公式： 1 2 3 11 2 2 33 123 , , ( )( V V V V dv d d ds a a a dv a n a n a n ds xxx ∂ ∂ ∇= = ∂ ∂ ∂ ++ = + + ∂∂∂ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ i i a as sn ) w w (2.20) 其中 ，该公式给出了体积分和面积分的关系。在弹 性力学三维理论和能量原理的推导中有重要应用。 123 n = (, , ) nn n V 是曲面 的外法方向 ∂ ‹ Stokes 公式： 3 3 2 1 21 1 2 31 1 2 2 23 31 12 ( ) [( ) ( ) ( ) ] ( ) S S S S d d a a a a aa n n n ds a dx a dx a dx xx xx xx ∂ ∂ ∇× ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ − +− +− = + + ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ a s= a l i i v v 3 3 (2.21) 揭示了面积分和线积分的关系。 ‹ Green 公式(Stokes 公式的平面情形) ( )( y x x y S S a a dxdy a dx a dy x y ∂ ∂ ∂ − =+ ∂ ∂ ∫∫ v∫ ) (2.22) ‹ 矢量的梯度 标量的梯度是矢量，矢量的梯度是张量。 , , i i j j ji i j i i j j ij i j a a a a ∇ =∂ = ∇= ∂ = a a e e ee e e ee (2.23) 应变张量可以表示为： , , ( )( i j ji ∇ + ∇= + u u u u 1 1 Γ = 2 2 ) 三种表示形式：分量形式、整体张量形式、下标形式。 5