《线性代数》第三章习愿解答 取x3=k,得到方程组的通解： 取x3=k1,x4=k2,得到方程组的通解： -1 3 2 -8 其中k为任意实数 =k -k3 0 0 其中k,k为任意实数 0 0 6 0 (3)x+5x+4-13x,=3, 25.证明：线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是其导出AX=0只有零解。 3x-x3+2x3+5x4=2, 证：必罢性：若方程组AX=b有唯一解，则R(A)=R(石=n(未知量个数)， 2x1+2x2+3x1-4x4=1 导出组AX=0只有零解。 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 充分性：如果导出组AX=0只有零解，则R(A)=n(未知量个数)，从而 「154-133] -06 5 4 -13 31 n之R(A)之R(4)=n,即R)=R(A)=n.方程组AX=b有唯一解。 A=3-125 -7 26.入取何值时，下列非其次线性方程组(i)有唯一解：()无解：（出）有无穷多解： 224-20 -8 -522 -5 当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示共通解。 (1)x+2+x3=1, (2)2x1-2+x3+x4=1 「154-133 5-20-8-5 22 ++=1, 3+22-x3+4x4=2, -5 5000 1+7x2-4x3+11x4=1 0 3 x1+2+x3=入2 解：计算系数行列式 :R()=2≠3=R(A)∴原方程组无解。 (4x+2y-3:+2p=2 2r+5y-8:+6r=5 3x+4y-5:+2w=4 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： [12-322] -2r 12 -3221 -=(2+21+12 ()当入本-2，元≠1时，方程组有唯一解（克莱姆法则）， A=25-865 01 -22 1 54524-0-2 ()当1=一2时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 4 -4-2 「-21111 0-33-3] 「101-20 5+201-221 12i-25*2 1-21-2 5-20000 i124]5-503-36 「0-33-3] ∴原方程组的同解方程组： 5+51-21-2 = -x3+2x4 l0003] = 2x-2x4+1, ,R()=2本(A)=3方程组无解。 3= (ⅷ)当入-1时，对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 4 8. 《线性代数》第三章习题解答 -8- 取 3 x k = ，得到方程组的通解： 1 2 3 4 1 3 2 8 , 1 0 0 6 x x k x x       −       −   = +                       其中 k 为任意实数. (3) x x x x 1 2 3 4 + + − = 5 4 13 3 , 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 5 2 , 2 2 3 4 1 . x x x x x x x x − + + = + + − = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 5 4 13 3 1 5 4 13 3 3 3 1 2 5 2 0 16 10 44 7 2 2 2 3 4 1 0 8 5 22 5 r r A r r     − − −     = − − − −     −         − − − − 2 3 2 3 1 5 4 13 3 2 0 8 5 22 5 0 0 0 0 3 r r r r   − −   − − −        . ∵ R A R A ( ) 2 3 ( ) =  = ∴原方程组无解。 (4) x y z w + − + = 2 3 2 2 , 2 5 8 6 5 , 3 4 5 2 4 . x y z w x y z w + − + = + − + = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 2 2 5 8 6 5 0 1 2 2 1 3 3 4 5 2 4 0 2 4 4 2 r r A r r     − − −     = − −     −         − − − − 3 2 3 2 1 0 1 2 0 2 0 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 r r r r   − +   − −       . ∴原方程组的同解方程组： 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 2 , 2 2 1 , , . x x x x x x x x x x = − + = − + = = 取 3 1 4 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 1 2 3 4 1 2 0 2 2 1 1 0 0 0 1 0 x x k k x x         −         −   = + +                               ， 其中 1 2 k k, 为任意实数. 25. 证明：线性方程组 AX b = 有唯一解的充分必要条件是其导出 AX = 0 只有零解。 证： 必要性： 若方程组 AX b = 有唯一解，则 R A R A n ( ) ( ) = = （未知量个数），∴ 导出组 AX = 0 只有零解。 充分性： 如果导出组 AX = 0 只有零解，则 R A n ( ) = （未知量个数），从而 n R A R A n   = ( ) ( ) ，即 R A R A n ( ) ( ) = = 。∴方程组 AX b = 有唯一解。 26.  取何值时，下列非其次线性方程组 （i）有唯一解；（ii）无解；（iii）有无穷多解； 当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其通解。 （1） x x x 1 2 3 + + =1 , （2） 2 1 , 1 2 3 4 x x x x − + + = 1 2 3 2 1 2 3 , . x x x x x x     + + = + + = 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 , 7 4 11 . x x x x x x x x  + − + = + − + = 解：计算系数行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           = = + = + − − 2 = + + ( 2)( 1)   （i）当    −  2, 1 时，方程组有唯一解（克莱姆法则）. （ii）当  =−2 时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 1 2 3 2 2 1 1 1 0 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 4 0 3 3 6 r r A r r     − − − +     = − − − −     −         − − 3 1 0 3 3 3 1 2 1 2 0 0 0 3 r r   − −   + − −       ∵ R A R A ( ) 2 ( ) 3 =  = ∴方程组无解。 （iii）当  =1 时，对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到：