《线性代数》第三章习愿解答 -2 5-5「120-13 0 5-+500101 所以原方程组的同解方程组为（取七2，x,为自由 =k0 +k,1,基磁解系： -500000 0 0 未知量) 0 =-2x2 +x,+3, -21 2=2 0 Y:= 1, %=0= 4= 0 取=k,x=名，得到方程组的通解： 0 Lo -2 T1「3] 1 =k +k 0 ,其中k,为任意实数。 20.设A= 证明：A的行向量组一定线性相关。 0 x 0 2L.设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m,若AB=E,证明：B的列向量组 (2)x +x3-x=-3 线性无关。 2x-x2+4x3-3x4=-4, 22.设A是n矩阵，且4=0，证明：A中必有一列向量是共余列向量的线性组合。 31+3+3 =1 23.设向量组4,4，，4线性无关，月=∑a,4,=l2,,证明：向量组 7x1 +7x3-3x=3 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 月，月，，月线性无关的充分必要条件是： 「101-1-3] 「101 -2 -1-31 a…a 2-14-3-4 0-1 2-12 1- 3110 5-3 1-23 10 ……… 07-33-2400 0 4 na…an 5+01- 24 -3+4 10 10 3 24.判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 01-21 2 0 -2 0 -5 (1)+22+x3-x=4, 0002 125-2 10 0 0 6 3x1+6x2-x3-3x=8, -0001 65L00 0 0 5x+10x2+1-5x=16, 取x,为自由未知量，得原方程组的同解方程组： 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到 = -3+3, 「121-147 「121-141 a=36-1-385-3 2= 2x3-8 00-40-4 5101-5165-5 5= 0040-4 X= 6《线性代数》第三章习题解答 -7- 1 2 3 1 2 4 5 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 x x x k k x x       −               = +                             ，基础解系： 1 2 2 1 1 0 0 1 , . 0 0 0 0       −         = =                     20. 设 11 12 21 22 31 32 a a A a a a a     =       ，证明：A 的行向量组一定线性相关。 21. 设 A 是 n m 矩阵，B 是 m n  矩阵，其中 n m 。若 AB=E，证明：B 的列向量组 线性无关。 22. 设 A 是 n 矩阵，且 A = 0 ，证明： A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。 23. 设向量组 1 2 , , ,   r 线性无关， 1 ( 1,2, , ) r i ij j j  a i j = = =  ，证明：向量组 1 2 , , ,   r 线性无关的充分必要条件是: 11 12 1 21 22 2 1 2 0 r r r r rr a a a a a a a a a  24. 判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 (1) x x x x 1 2 3 4 + + − = 2 4 , 1 2 3 4 1 2 3 4 3 6 3 8 , 5 10 5 16 , x x x x x x x x + − − = + + − = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到 2 1 3 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 3 3 6 1 3 8 0 0 4 0 4 5 5 10 1 5 16 0 0 4 0 4 r r A r r     − − −     = − − − −     −         − − − 3 2 1 1 2 4 1 4 2 1 2 0 1 3 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 r r r r r −   −   −   −     ，所以原方程组的同解方程组为（取 2 4 x x , 为自由 未知量） x x x 1 2 4 = − + + 2 3 , 2 2 3 4 4 , 1 , , x x x x x = = = 取 2 1 4 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 1 2 3 4 2 1 3 1 0 0 , 0 0 1 0 1 0 x x k k x x         −           = + +                               其中 1 2 k k, 为任意实数. (2) x x x 1 3 4 + − = −3 , 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4 2 4 3 4 , 3 1 , 7 7 3 3 . x x x x x x x x x x − + − = − + + = + − = 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 2 1 3 1 4 1 1 0 1 1 3 1 0 1 1 3 2 2 1 4 3 4 0 1 2 1 2 3 3 1 1 0 1 0 1 2 3 10 2 7 0 7 3 3 0 0 0 4 24 r r A r r r r     − − − − −     − − − − − = −         −     −     − 1 4 3 2 2 4 2 3 4 1 4 4 3 4 1 0 1 1 3 1 0 1 0 3 0 1 2 1 2 0 1 2 0 8 0 0 0 2 12 0 0 0 1 6 2 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r r r r     − − + +     − − − − − −         −          . 取 3 x 为自由未知量，得原方程组的同解方程组： 1 3 2 3 3 3 4 3 , 2 8 , , 6 . x x x x x x x = − + = − = =