§2柯西中值定理与不定式极限 本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的 ′ Hospital法则. 柯西中值定理 定理6.5(柯西( Cauchy)中值定理)设∫,g满足 (i)在叵b]上都连续 (i)在(a,b)内都可导 (i)f(x)与g(x)不同时为零; (ivy)g(a)≠g(b) 则3∈(an,b),使 f'()f(b)-f(a) (1) g(5)g(b)-g(a) [分析]欲证(1),只须证[1(b)-/8()-m(l1=0且g(5)≠0 gb-g(a) 令F(=1(0)-/( 8(b)-8(08(x)-f(x由Ro1le定理证之 注(i) Cauchy中值定理是 Lagrange中值定理的推广(当 g(x)=x情形) (i) Cauchy中值定理的几何意义(图见上册教材126页 图6-5) 令 =f(x) lv=g(x) [a,b] 它表示o平面上的一段曲线AB.弦AB的斜率即为(1)式右边,而(1) 式左边§2 柯西中值定理与不定式极限 本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的 L＇Hospital 法则. 一 柯西中值定理 定理 6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设 f , g 满足 (ⅰ)在 a,b 上都连续; (ⅱ)在 (a, b) 内都可导; (ⅲ) f (x) 与 g (x) 不同时为零; (ⅳ) g(a)  g(b) 则  (a,b),使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − =     (1) [分析] 欲证(1),只须证 ( ) ( )] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ −  = − −  g x f x g b g a f b f a 且 g ( )  0 . 令 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g b g a f b f a F x − − − = 由 Rolle 定理证之. 注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的推广(当 g(x) = x 情形). (ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材 126 页 图 6-5）: 令 [ , ] ( ) ( ) x a b v g x u f x     = = 它表示 uov 平面上的一段曲线 AB.弦 AB 的斜率即为(1)式右边,而(1) 式左边