f"(5)d 表示与x=相对应的点(g(,f(4)处的切线斜率,因此(1)式表示上述 切线与弦AB平行 (i)研究下列函数可否作为证明 Cauchy中值定理的辅助函数 1)F(x)=f(x)-[(a)+ ∫(b)-f(a) (g(x-g(a) g(b)-g(a) 2)F(x)=[f(b)-f(a川g(x)-g(a)-[f(x)-f(a)g(b)-g{(a); 3)F(x)=[f(b)-f(a]g(x)-f(x)g(b)-g(a) g(a)f(a) 4)F(x)=±1k(b)f(b g(x)f(x) 例1设f在[b](b>a>0)上都连续,在(ab)内都可导,则35∈(ab) 使 f(b)-f(a)=5()l 证取g(x)=hx,对f,g利用 Cauchy中值定理即证之 不定式极限一两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1.型不定式极限 定理6.6L′ Hospital法则I)设 (i) limf(x)=lim g(x)=0 (ⅱi)f,g在x的某空心邻域U°(x)内可导且g'(x)≠0; (ⅱ)imf(x)=A(或±∞).则 x-33o g(x) f(x)存在且lm f(x) A(或±∞,∞) r g(r) xxo g(x)   = =   x dv du g f ( ) ( ) 表示与 x =  相对应的点 (g( ), f ( )) 处的切线斜率,因此(1)式表示上述 切线与弦 AB 平行. (ⅲ)研究下列函数可否作为证明 Cauchy 中值定理的辅助函数 1) ( ( ) ( ))] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a − − − = − + ; 2) F(x) = [ f (b) − f (a)][g(x) − g(a)]−[ f (x) − f (a)][g(b) − g(a)] ; 3) F(x) = [ f (b) − f (a)]g(x) − f (x)[g(b) − g(a)] ; 4) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 ( ) g x f x g b f b g a f a F x =  例1 设 f 在 a,b ( b  a  0) 上都连续, 在 (a, b) 内都可导,则  (a,b) , 使 a b f (b) − f (a) = f ( )ln 证 取 g(x) = ln x ,对 f , g 利用 Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 0 0 型不定式极限 定理 6.6(L＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ) ( ) ( ) 0 lim lim 0 0 = = → → f x g x x x x x ; (ⅱ) f , g 在 0 x 的某空心邻域 ( ) 0 0 U x 内可导且 g (x)  0 ; (ⅲ) A g x f x x x =   → ( ) ( ) lim 0 (或  , ).则 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x 存在且 (或 , ) ( ) ( ) lim 0 =    → A g x f x x x