显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处.故为了讨论函数的幂级数展开先来讨论泰勒级数 泰勒级数 由泰勒中值定理知,当f(x)在x的某邻域内内具有 直到n+1)阶导数,那么在该邻域内必有f(x)=P(x)+R(x) 从而当f(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 f(x)=limp (x)+r,(x) 若imR2(x)=0,必有f(x)=∑ f(x n1→0 k! 函数f(x)在x处的泰勒级数或泰勒展开式 特别地,在x=0时,上式即为f(x)=∑ f(0) k=0k! 函数f(x)在处的马克劳林级数或马克劳林展开式3 显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处. 故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数. 由泰勒中值定理知, 当ƒ(x)在 x0 的某邻域内内具有 直到(n+1)阶导数, 那么在该邻域内必有 ( ) ( ) ( ), n n f x P x R x = + ( ) lim[ ( ) ( )] n n n f x P x R x → = + lim ( ) 0, n n R x →  若 必有 = ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! k k k f x f x x x k  = = −  ——函数ƒ(x)在x0 处的泰勒级数或泰勒展开式. 特别地, 在 x0 = 0 时, 上式即为 一. 泰勒级数 从而当ƒ(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 ( ) 0 (0) ( ) ! k k k f f x x k  = =  ——函数ƒ(x)在 处的马克劳林级数或马克劳林展开式