第二节洛必达法则 教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求8型和二型以及0：0,0一山型未定式的极限的方法 了解0°，1，口°型极限的求法 教学重点：洛必达法则。 教学难点：理解洛必达法则失效的情况，0·0,0一0型的极限的求法. 教学过程： 一。日型和巴型未定式的解，法洛必达法则 :若当x→a(或x→o)时.函数f)和F都趋于或无穷大.则极限m 在、也可能不存在，通常称为0型和贮型未定式 0 物马学，(g马细是号 定理：设（①）当x→0时，函数fx)和Fx)都趋于零 (2)在a点的某去心邻域内，了(x)和F(x)都存在且F(x)≠0： 自巴周在黄无穷丸 则得周 证明：作辅助函数 - 在U(a,⊙)内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数f(x)和F)满足柯西中值定理的条件，则有 得侧品得在与之间 当x→0有5→a,所微当如铝小有得 故巴得典得=4E华 9 9 第二节 洛必达法则 教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求 0 0 型和   型以及 0, −  型未定式的极限的方法; 了解 0 0 0 ,1 ,  型极限的求法. 教学重点：洛必达法则. 教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 0, −  型的极限的求法. 教学过程： 一． 0 0 型和   型未定式的解：法洛必达法则 定义：若当 x →a （或 x → ）时，函数 f (x) 和 F(x) 都趋于零(或无穷大)，则极限 ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 可能存 在、也可能不存在，通常称为 0 0 型和   型未定式. 例如 x x x tan lim →0 , ( 0 0 型); bx ax x ln sin ln sin lim →0 , (   型). 定理：设 (1)当 x →0 时, 函数 f (x) 和 F(x) 都趋于零; (2)在 a 点的某去心邻域内, f (x) 和 F(x) 都存在且 F(x)  0 ; (3) ( ) ( ) lim ( ) F x f x x x a → → 存在(或无穷大), 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a   = → → 证明:作辅助函数    =  = x a f x x a f x 0, ( ), ( ) 1 ,    =  = x a F x x a F x 0, ( ), ( ) 1 在 U(a, )  内任取一点 x , 在以 a 和 x 为端点的区间上函数 ( ) 1 f x 和 ( ) 1 F x 满足柯西中值定理的条件, 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( )   F f   = , (  在 a 与 x 之间) 当 x →0 时,有  → a , 所以当 A F x f x x a =   → ( ) ( ) lim , 有 A F f a =   → ( ) ( ) lim    故 A F f F x f x x a a =   = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim    . 证毕