D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1999.03.028 第21卷第3期 北京科技大学学报 VoL.21 No.3 1999年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1999 线性奇异系统的特征结构配置 王淑珍 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要讨论了线性时不变奇异系统经纯状态反馈配置特征结构的问题.在系统是正则束及 强能控的前提下，给出了可以配置给定特征结构的充分必要条件，由于采用了构造性方法的证 明，当条件满足时，所需的反馈阵也是容易得到的研究表明：可配置特征结构的“特征值一（广 义)特征向量”对数不超过阵E的秩. 关键词奇异系统：特征结构：状态反馈 分类号TP13 奇异系统大量存在于网络理论，航天，航 本文讨论的所需特征结构用文献[6]中所给 空，经济及生态等领域内，受到越来越多的重 的形式，即{亿，h,pgh≥1，Pg之1，∈C.i=1,2,…, 视，并取得了很大进展-与此同时，（正常）多输 tj=1,2,,h}.这里{|i=1,2,…,}两两不同， 入系统的特征结构配置问题的研究结果也相继 但必须共轭成对出现，h是相应于特征根λ的 发表”本文讨论线性奇异系统在（纯）状态反 几何重数，P4则是其相应的阶数.这一提法的 馈下的特征结构配置问题. 优点在于上述三素组中每一个元是独立的，而 {亿，5}作为特征结构时，每一个n维复向量5 1问题的提出 中只有极少数的独立维数网. 讨论线性时不变奇异系统： 本文要讨论的问题是，对于给定的强能控 E=Ax +Bu (1) 系统(1)，是否存在状态反馈 其中，x∈R,u∈R",(sE-A)为正则束，E的秩 u=Kx (4) r(E)=q<n. 使式(1)，(4)组成的闭环系统具有所需的特征结 为了研究特征结构配置问题，恒假设系统 构{2，h,P}.当然，进一步的问题是，如果有这 (1)强能控这样，通过状态反馈最多能配置的 样的K存在，如何确定此K阵？ 极点数（包括有穷及无穷极点）为9个 显然，对所需的{2，h,p}来讲，还有2个限 所谓0+点∈C"为矩阵束(sE-A)相应于1的 制：(1)除共轭成对出现外，当人，=乙∈R时， 特征向量（或特征向量链中第k个）是指： 必有h,=h,Pt=P#(k=1,2,…,h,),这是为保证K 1∈C,det(LE-A)=0,A5=LE5+5点-1(5=0) 之元为实数所必需的：(2)之P,≤g(=r(). k=1,2,… (2) 引理能控系统x=Ax+Bu能配置特征结 对系统(1)，允许作文献[8]中所给的受限等 构{a,h,Py}的充分必要条件为： 价变换(r.s.e.).即对正则束的系统(1)，r.s.e.于下列 (1)h≤B); 标准分解： H69-- 222ps2d,k=88-1,…21. 江1国止 (3) 这里规定pa≥pa之…≥Pm(≥1)，而p1== 这里，x∈R,n,+n2=n,N为幂零阵，即存在 P,=0,并不失一般性，假定之P=系统阶数， 11 非零的P及Q,使PEQ= I0) {d,…,d}为(A,B)的控制结构指数 o N PB 2主要结果 B2 1998-09-03收稿 王淑珍 对于本文的问题，可分2种情况来讨论. 女，59岁，副教授第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 匕 线性奇 异 系统 的特 征 结构 配 置 王 淑珍 北京科技大学应用科学 学院 ， 北京 摘 要 讨论 了线性 时不变奇异 系统经纯状态反馈配置特征结构 的 问题 在系统 是 正 则 束及 强 能控 的前提下 ， 给 出 了可 以配置给定特征结构 的充分必 要条件 由于采用 了构造性方法 的证 明 ， 当条件满足时 ， 所需 的反馈阵也 是容易得到的 研究表明 可配置特征 结构的 “ 特征值 一 广 义 特征 向量 ” 对数 不 超 过阵 的秩 关键词 奇 异 系统 特征 结构 状态 反馈 分 类号 奇异系统 大 量 存 在 于 网络理 论 ， 航 天 ， 航 空 ， 经济及 生 态等领域 内 ， 受到越 来越 多的重 视 ， 并取 得 了很大进展 ‘’一 与此 同时 ， 正 常 多输 入 系统 的特征 结构配置 问题 的研 究结果也 相继 发表闲， 本文 讨 论线性奇 异 系统在 纯 状态 反 馈 下 的特 征 结 构配 置 问题 问题 的提 出 讨 论 线 性 时 不 变 奇 异 系 统 分甲月工 其 中 ， 任 ， 任 俨 ， 一 为正 则束 ， 的秩 一 为 了研 究特 征 结 构 配 置 问题 ， 恒 假 设 系统 强 能控 ‘ 这样 ， 通过状 态 反 馈最 多 能配 置 的 极 点 数 包括有 穷及 无 穷极 点 为 个 所 谓 牛 二任 为矩 阵束 一 相 应 于又的 特 征 向量 或特 征 向量链 中第 个 是 指 又 ， 辉 一 二 ， 豪以百二十 氛 一 易 ， ，… 对 系统 ， 允 许作文 献 【 中所给 的受 限等 价变换 即对 正 则束 的系统 ， 于 下 列 标准 分 解 本文讨论 的所 需特征 结构用文献 中所给 的形式 ， 即 认 ， 凡 ，两 ‘ 七 ，两 七 ， 儿任 二 ， ，… ， 乙 ， ，… ， ， 这里 引 ， ，… ， 两两 不 同 ， 但 必 须共扼成 对 出现 ， 入是相应于特征 根 儿 的 几何重数 ， 。 则是其相应的阶数 这一提法 的 优 点在于上 述三 素 组 中每 一个元是独立 的 ， 而 扭 ，， 么 作 为特 征 结构 时 ， 每一 个 维复 向量 条 中只 有 极 少 数 的独 立维数叭 本 文 要 讨论 的 问题 是 ， 对 于 给定 的强 能控 系统 ， 是否 存在状态 反馈 使式 ， 组 成 的 闭环 系统 具 有所 需 的特征结 构 林 ，， 凡 ， 几 当然 ， 进一 步的 问题 是 ， 如 果有这 样 的 存 在 ， 如何 确 定 此 阵 显 然 ， 对 所 需 的 抹 ， 九 ， 几 来 讲 ， 还有 个 限 制 除 凡 共 扼成 对 出现 外 ， 当 又 ，一 凡敌时 ， 必 有 ， ，， 二 二 ， ，… ，， ，这 是 为 保 证 之 元 为 实数 所 必 需 的 艺艺 ‘ 二 哟 · 厂 引 理汇 能控系 统 交“ 能配 置特征 结 构 扭 ‘ ， 八 ， 两 的充分 必 要 条件 为 ， ‘ 呱 一 比 ’ 仪 · 暇卜 ， 这里 ， 任 尸 ， ‘ ， 为 幂 零 阵 ， 即存在 、 、 、 非零 的 尸 及 ， 使 尸百口二 二 」 ， ‘ ， 一 ‘ 一 一 飞 、 尸召 叹 代 蓦三 。 ‘ 互礴 ， ， 一 ‘ ，’ ‘ ’ ， ， ‘ · 这里 规定尸 全 二 沙二 全 两 仁 ， 而尸 ， ， 一 乃。 ， 并不 失一 般性 ， 假 定 艺艺 二 系 统 阶 数 ， 仙 ，… ，硫耐 为 ， 的控制 结 构指 数 主要结 果 一 一 收稿 王 淑珍 女 ， 岁 ， 副 教授 对 于本文 的 问题 ， 可 分 种情 况 来讨 论 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．03．028