线性奇异系统的特征结构配置

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1999.03.028 第21卷第3期 北京科技大学学报 VoL.21 No.3 1999年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing June 1999 线性奇异系统的特征结构配置 王淑珍 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要讨论了线性时不变奇异系统经纯状态反馈配置特征结构的问题.在系统是正则束及 强能控的前提下，给出了可以配置给定特征结构的充分必要条件，由于采用了构造性方法的证 明，当条件满足时，所需的反馈阵也是容易得到的研究表明：可配置特征结构的“特征值一（广 义)特征向量”对数不超过阵E的秩. 关键词奇异系统：特征结构：状态反馈 分类号TP13 奇异系统大量存在于网络理论，航天，航 本文讨论的所需特征结构用文献[6]中所给 空，经济及生态等领域内，受到越来越多的重 的形式，即{亿，h,pgh≥1，Pg之1，∈C.i=1,2,…, 视，并取得了很大进展-与此同时，（正常）多输 tj=1,2,,h}.这里{|i=1,2,…,}两两不同， 入系统的特征结构配置问题的研究结果也相继 但必须共轭成对出现，h是相应于特征根λ的 发表”本文讨论线性奇异系统在（纯）状态反 几何重数，P4则是其相应的阶数.这一提法的 馈下的特征结构配置问题. 优点在于上述三素组中每一个元是独立的，而 {亿，5}作为特征结构时，每一个n维复向量5 1问题的提出 中只有极少数的独立维数网. 讨论线性时不变奇异系统： 本文要讨论的问题是，对于给定的强能控 E=Ax +Bu (1) 系统(1)，是否存在状态反馈 其中，x∈R,u∈R",(sE-A)为正则束，E的秩 u=Kx (4) r(E)=q<n. 使式(1)，(4)组成的闭环系统具有所需的特征结 为了研究特征结构配置问题，恒假设系统 构{2，h,P}.当然，进一步的问题是，如果有这 (1)强能控这样，通过状态反馈最多能配置的 样的K存在，如何确定此K阵？ 极点数（包括有穷及无穷极点）为9个 显然，对所需的{2，h,p}来讲，还有2个限 所谓0+点∈C"为矩阵束(sE-A)相应于1的 制：(1)除共轭成对出现外，当人，=乙∈R时， 特征向量（或特征向量链中第k个）是指： 必有h,=h,Pt=P#(k=1,2,…,h,),这是为保证K 1∈C,det(LE-A)=0,A5=LE5+5点-1(5=0) 之元为实数所必需的：(2)之P,≤g(=r(). k=1,2,… (2) 引理能控系统x=Ax+Bu能配置特征结 对系统(1)，允许作文献[8]中所给的受限等 构{a,h,Py}的充分必要条件为： 价变换(r.s.e.).即对正则束的系统(1)，r.s.e.于下列 (1)h≤B); 标准分解： H69-- 222ps2d,k=88-1,…21. 江1国止 (3) 这里规定pa≥pa之…≥Pm(≥1)，而p1== 这里，x∈R,n,+n2=n,N为幂零阵，即存在 P,=0,并不失一般性，假定之P=系统阶数， 11 非零的P及Q,使PEQ= I0) {d,…,d}为(A,B)的控制结构指数 o N PB 2主要结果 B2 1998-09-03收稿 王淑珍 对于本文的问题，可分2种情况来讨论. 女，59岁，副教授

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 匕 线性奇 异 系统 的特 征 结构 配 置 王 淑珍 北京科技大学应用科学 学院 ， 北京 摘 要 讨论 了线性 时不变奇异 系统经纯状态反馈配置特征结构 的 问题 在系统 是 正 则 束及 强 能控 的前提下 ， 给 出 了可 以配置给定特征结构 的充分必 要条件 由于采用 了构造性方法 的证 明 ， 当条件满足时 ， 所需 的反馈阵也 是容易得到的 研究表明 可配置特征 结构的 “ 特征值 一 广 义 特征 向量 ” 对数 不 超 过阵 的秩 关键词 奇 异 系统 特征 结构 状态 反馈 分 类号 奇异系统 大 量 存 在 于 网络理 论 ， 航 天 ， 航 空 ， 经济及 生 态等领域 内 ， 受到越 来越 多的重 视 ， 并取 得 了很大进展 ‘’一 与此 同时 ， 正 常 多输 入 系统 的特征 结构配置 问题 的研 究结果也 相继 发表闲， 本文 讨 论线性奇 异 系统在 纯 状态 反 馈 下 的特 征 结 构配 置 问题 问题 的提 出 讨 论 线 性 时 不 变 奇 异 系 统 分甲月工 其 中 ， 任 ， 任 俨 ， 一 为正 则束 ， 的秩 一 为 了研 究特 征 结 构 配 置 问题 ， 恒 假 设 系统 强 能控 ‘ 这样 ， 通过状 态 反 馈最 多 能配 置 的 极 点 数 包括有 穷及 无 穷极 点 为 个 所 谓 牛 二任 为矩 阵束 一 相 应 于又的 特 征 向量 或特 征 向量链 中第 个 是 指 又 ， 辉 一 二 ， 豪以百二十 氛 一 易 ， ，… 对 系统 ， 允 许作文 献 【 中所给 的受 限等 价变换 即对 正 则束 的系统 ， 于 下 列 标准 分 解 本文讨论 的所 需特征 结构用文献 中所给 的形式 ， 即 认 ， 凡 ，两 ‘ 七 ，两 七 ， 儿任 二 ， ，… ， 乙 ， ，… ， ， 这里 引 ， ，… ， 两两 不 同 ， 但 必 须共扼成 对 出现 ， 入是相应于特征 根 儿 的 几何重数 ， 。 则是其相应的阶数 这一提法 的 优 点在于上 述三 素 组 中每 一个元是独立 的 ， 而 扭 ，， 么 作 为特 征 结构 时 ， 每一 个 维复 向量 条 中只 有 极 少 数 的独 立维数叭 本 文 要 讨论 的 问题 是 ， 对 于 给定 的强 能控 系统 ， 是否 存在状态 反馈 使式 ， 组 成 的 闭环 系统 具 有所 需 的特征结 构 林 ，， 凡 ， 几 当然 ， 进一 步的 问题 是 ， 如 果有这 样 的 存 在 ， 如何 确 定 此 阵 显 然 ， 对 所 需 的 抹 ， 九 ， 几 来 讲 ， 还有 个 限 制 除 凡 共 扼成 对 出现 外 ， 当 又 ，一 凡敌时 ， 必 有 ， ，， 二 二 ， ，… ，， ，这 是 为 保 证 之 元 为 实数 所 必 需 的 艺艺 ‘ 二 哟 · 厂 引 理汇 能控系 统 交“ 能配 置特征 结 构 扭 ‘ ， 八 ， 两 的充分 必 要 条件 为 ， ‘ 呱 一 比 ’ 仪 · 暇卜 ， 这里 ， 任 尸 ， ‘ ， 为 幂 零 阵 ， 即存在 、 、 、 非零 的 尸 及 ， 使 尸百口二 二 」 ， ‘ ， 一 ‘ 一 一 飞 、 尸召 叹 代 蓦三 。 ‘ 互礴 ， ， 一 ‘ ，’ ‘ ’ ， ， ‘ · 这里 规定尸 全 二 沙二 全 两 仁 ， 而尸 ， ， 一 乃。 ， 并不 失一 般性 ， 假 定 艺艺 二 系 统 阶 数 ， 仙 ，… ，硫耐 为 ， 的控制 结 构指 数 主要结 果 一 一 收稿 王 淑珍 女 ， 岁 ， 副 教授 对 于本文 的 问题 ， 可 分 种情 况 来讨 论 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．03．028

Vol.21 No.3 王淑珍：线形奇异系统的特征结构配置 315 情况I 22p,≤n: 我们用文献[9]的模型来讨论 对(sE-A)为正则束的广义系统(1)，还可I. 为讨论方便，设Σ2p则=n(若不等，可增添 1j° s.e.于 若干个与已有的人不同的实数：及对应的 B h=1p=1,使等式成立)，这时有定理1： 0 0 0 + B (9) 定理1系统(3)能经状态反馈： 0 u=Kix1. a0o儿 配置特征结构{，h,p}的充分条件为： 其中，x∈R,i,=r(E)=q,l是n2阶单位阵， (1)h,≤r(B)=nu A,及A1分别为列满秩及行满秩.系统强能控 2)22p≤之d,k=r(B,w(B)-1,,2,1. 等价于B行满秩 dy为{n-j+1,…,,-j+1}中正整数的个数 在系统(9)中，可经状态反馈： [B1AB1…B])=n,+n2+…+ng, u=K:x+v (10) j=1,2,…,. 把系统(9)变为 y1=min{k|[BAB…AB]=[B,A,B,…A-B 0 4+B.K, AB,]} 0 0 B.K, x2 B2 (11) 证明：由于三p=m,因此只须考察系统(3) l严 B.K, 的正则部分，即 选K使B,K非异这时，系统(11)就没有无穷远 元1=A11+B4 (5) 极点.对它再作标准分解得 又因原系统为强能控，所以上述系统（⑤）能控， a,o) 直接利用引理即可得证. -o (12) 应该指出，此时所需的K阵可由文献[6中 其中，∈R,元=n(=q),而B,是由式(3)中的 所给的构造性方法得到. B,与尽可能多的B,中的一些行组成的矩阵，因 情况Ⅱm<2立p,(≤g). tel 此r(B)≥rB)对所给的特征结构{，h,P},如 这时，由于ΣP比原系统的正则系统的阶 果空p,<q时，可扩充认，hp,},使上述等号成 =l】 数大，因此必须对原系统进行状态反馈： 立这时，设 u=Kox+uo (6) r([B1,AB,…,B]）=+…+i,k=1,2,… 得 E=(A+BKo)x+Buo (7) v=min{klr(8AB…aE])= 使该系统的正则部分的阶数等于所配置的极点 r{[B,a8…a,馆，A8]. 数三三P对系统(T,存在非异的P,2,使其rs. 则有定理2. 定理2系统(12)能配置特征结构{亿，h,P} e.于标准分解： (A 01 (B (8) (=9)的充分必要条件为： (1)h,≤n,; 其中，x,∈R,而m=ΣP:N为幂零阵.这样问题 2)p,s2a, k=a,,-1,…,2,1. 就化成情形I,能否配置特征结构{亿，h,P}的 这里：a是{n-jtl,…,i} 中正整数个数： 问题可由系统(8)的正则部分(A1,B,)决定 pu=0,l=h,+1,,i. 但是，当m<q时，在K。的选择上方法有多 当条件满足时，所需的 种，这里的要求是使用奇异系统（⑦）在标准分解 v=K (13) 后的系统(8)中，B,的秩r(B,)最大. 中的，仍可由文献[6]的构造性方法得到. 事实上，B,是由系统(3)中的B,加上B,中的 需要指出，对于讨论的情形I,由于 一些行组成的，若记B,中的这些行为B,则B, (B)≤B),当对所给特征结构不能配置时，也 可表示为B- 显然r⑧)≥r(B).为使 B 可扩充{，h,P}后，用系统(12)进行讨论，后者 的优势在于n:最大，从而可以允许h的较大者 r⑧)达到最大，可以用把所有原系统的无穷远 也满足定理的条件 极点都变成有穷远极点这一方法来获得这时

七 王淑珍 线形奇异系统的特征结构配置 一 情 况 艺艺乃 才 ‘ 卜 介 为讨 论 方 便 ， 设 艺勒 。 ， 若 不 等 ， 可 增添 我 们 用 文 献 」的模型 来讨 论 对 一 为 正 则 束 的广 义 系统 ， 还 可 于 、 乙。 此护卜林城 、 伟尸卜阵伍 几 若 干 个 与 己 有 的 又 ， 不 同 的 实 数 儿 及 对 应 的 二 扒 ， ，使等 式 成 立 ， 这 时 有 定 理 定理 系 统 能经状 态 反 馈 二 凡 配置特征 结构 执 ， 凡 ， 几 的充分 条件 为 ， 元 ， 一 因 一 ， 大是 几 “ 蓦五“ ‘ 三祷 ， “ 一 ， 一 ‘ ，‘ ’ ‘ ， ， 阶单位 阵 ， 系统 强 能控 禹为 一 ，… ， ” 一 中正 整 数 的个 数 ， ， … 才 ， 〕 ， … 。 ， ，二 扭 ， ， ，二 ’ ， · ， 及 凡 分 别 为列满 秩 及 行 满 秩 等 价 于 行满 秩 在 系统 中 ， 可 经 状态 反 馈 。 一 元又 ， ， 把 系 统 变 为 … 亨 一 〕 二 〔 ， … 布 一 ’ ， 万 证 明 由于艺勒 。 ， ， 因此只须考察系统 扮 产 的 正 则部分 ， 即 戈 ， ， ， 又 因原系统为强 能控 ， 所 以上 述系统 能控 ， 直接利用 引理 即可得证 应该指出 ， 此 时所需的 阵可 由文 献 〔 中 所给 的构造性方法得 到 氏 情况 ， 勒 。 ‘ 扣 户 气 这 时 ， 由于 蓦知 比原系统 的 正 则 系统 的 阶 雾 · …… 儿 汤 留 一 阮匕尸以 一 ︸陇﹄尸加 选 凡 使 凡 非异 这 时 ， 系统 就没 有无 穷远 极 点 对 它 再 作标准 分解 得 阵 一 户 行 云 。 。 、 乙 城 队 其 中 ， 免任 护 ， 分一 滋卜 妇 ， 而 方 ， 是 由式 中的 与尽可 能 多 的 中的一 些行 组 成 的矩 阵 ， 因 此 访 ， 二 俩 对 所给 的特征 结构 扭 ‘ ， 八 ，几 ， 如 果 艺勒 。 时 ， 可 扩 充 扭 ，， 戍 ，几 ， 使上述 等 号 成 数大 ， 因此必 须对原系统进行状 态 反馈 。 得 戈 立 这 时 ， 设 亩 ， 方 ，宕 ， ，… 分 一 成」一 完 ，，十 完 ， ， ，… 节 】 毗宕 ，戈】 戈 ‘ 一 ’亥〕 … 公 一 ’宕 云 、 、‘、了了 气了 产、、 、 则 有 定理 理 系统 能 配 置特 征 结 构 扭 ‘ ， 气 ， 几 二 的充 分 必 要 条件 为 ， ‘ 孙定 使该 系统 的正 则部分 的阶数等于 所配置 的极 点 数 艺勒 。 对 系统 ，存在 非异 的 ， 。 ， 使其 户 于 标准分解 嵘笔 一 民 ’ 赎 · 嘻卜 ‘ 艺‘二 其 中 ， 兄 任 严 ， 而万，二 艺勒 。 万为幂零 阵 这样 问题 扮 户 就化成情 形 ， 能否 配 置 特征结构 林 ，， 八 ， 几 的 问题 可 由系统 的正 则部分区刃 ， 决定 但 是 ， 当万， 时 ， 在 的选 择 上 方法有 多 种 ， 这 里 的要求 是 使用 奇异 系统 在 标 准 分 解 后 的系统 中 ， 万 的秩 万 ， 最 大 事实上 ， 亘 是 由系统 中的 加 上 中 的 一 些行组 成 的 ， 若记 中的这 些 行 为 瓦 ， ， 则 亘 ， 、 可 表 示 为 万 二 ’ ， 显 然 历 之 凡 为使 以 伍 达 到最 大 ， 可 以用把所有原系统 的无 穷远 极 点都 变成 有穷远 极 点这 一 方法 来获得 这 时 ， 全斗 。 全戈 ， 、 一 氛 ， 丸 ，一 ， … ， ， 扮 厂 户止 这 里 急是 丸 。 一 ，… ，虱 中 正 整 数 个 数 “ ， 一 ， ，… ， 分二 当条件 满足 时 ， 所 需 的 一 戈 ， 兔 中 的 龙 仍 可 由文 献 的构造 性 方 法 得 到 需 要 指 出 ， 对 于 讨 论 的 情 形 ， 由 于 民 、 访 ， ， 当对 所给 特征 结构 不 能 配 置 时 ， 也 可 扩 充 位 ‘ ， 气 ， 几 后 ， 用 系统 进行 讨 论 ， 后 者 的优势在于完 ， 最 大 ， 从而 可 以允许 ， 的较大 者 也满足 定理 的条 件

316 北京科技大学学报 1999年第3期 最后，讨论原系统(1)所需的反馈阵K的问 参考文献 题，为简单起见，仅讨论情形Ⅱ的后一种情况，即 所给特霍结构化，九P刚满足空，g 1 Verghese G.Infinite-frequency Behavior in Generalized Dynamical Systems:[Ph.D.Dissertation].California: 对强能控的系统(1)，必存在K,使系统在 Stanford Univ.,1978 u=Kox+v (14) 2 Pandolfi L.On the Regulator Problem for Linear Degen- 下所得闭环系统 erate Control Systems .JOTA,1981,33(2):241 3 Dai Liyi.Singular Control Systems.NY:Springer-verlay, E元=(A+BK)+Bv (15) 1989 没有无穷远极点，且(sE-A-BK)仍为正则束. 4 Srinathkumar S.Eigen Value /Eigen Vector Assignment 对系统(15)作标准分解，即存在非异的户，②，使 Using Output Feedback.IEEE,AC,1978,23(1):79 系统(15)r.s.e.于 5 Porter B,D'Azzo J J.Closed-loop Eigenstructure Assign ment by State Feedback in Multivariable Linear Systems. (即(12) Int J Control,1978,27(3):487 6许可康，黄一，关于特征结构配置问题.科学通报， 这时式可表示为：=医0 1991(15):1121 7何关钰，许可康.特征结构配置的多项式阵法.应用 ,知道后，由于 ,所以 数学学报，1993,16(1)：89 8 Rosenbrock HH.Structural Properties of Linear Dynamic v=[区0]②。x这样，原系统配置特征结构{2，h, Systems.Int J Control,1974,20(2):191 Pg}所需的K为： 9许可康.奇异系统的最优调节器.系统科学与数学， K=K+[R0]②. 1988,82):134 Eigenstructure Assignment of Linear Singular Systems Wang Shuzhen Applied Science School,UST Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT The eigenstructure assignment problem of linear time invoriant singlar systems under the pure state feedback is dealt with.In regular bundle and strong controllability conditions,necessary and sufficient condition for the assignment eigenstructure is given.It is using prove of constructive method.It shows that pair number of assignment eigenstructure "eigenvalue-(generalized)eigenvector"is less than or equal to rank of matrix E. KEYWORDS singlar systems;eigen structure;state feedback

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 最 后 ， 讨 论 原 系统 所 需 的 反馈 阵 的 问 题 ， 为简 单起 见 ，仅讨 论 情形 的幅 、 熟 所 给特 征 结构 林 ‘ ， 凡 ， 两 满足 艺 对 强 能 控 的 系 统 ，必 存在 “ 一 种 情况 ， 即 · ，使 系统 在 下 所得 闭环 系统 戈 刀凡 没 有 无穷远极 点 ， 且 ‘ 君一 一 仍为正 则束 对 系统 作标准分 解 ， 即存在 非 异 的多 。 ， 吞 ，使 系统 于 嵘 一 图 即 这 时 ， 式 可 表 示 为 · 喀 · 〔龙” 】 充 知 道 后 ， 由 于 匡一 图 ， 所 以 、 一 庆 ， 吞 ’ 二 这样 ，原 系统配 置 特 征 结 构 伪 ， ， 两 所 需 的 为 一 庆 ， 氛 ， 参 考 文 献 理山 一 公 功 【 』 苗 ‘， 蛇 ， ， ， 址山 、 触 尼 、 切 冰 ， ， 刀 石田 ，泪 。 吐 州 ， ， 许可康 ， 黄一 关于特征结构配置 问题 科学通报 ， 何 关饪 ， 许可康 特征结构配置 的多项式阵法 应用 数 学学报 ， ， ， ， 许可康 奇异系统 的最优调节器 系统科学与数学 ， ， 刊 肠 ， ， ， 即 ， ” 一代 ，， 水