从典型冶金过程问题看现象相似的数理本质

D0I:10.13374/i.issn1001053x.2001.01.032 第26卷第4期 北京科技大学学报 Vol.26 No.4 2004年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2004 从典型冶金过程问题看现象相似的数理本质 季淑娟李士琦 北京科技大学治金与生态工程学院，北京100083 摘要指出了现象相似的数学物理本质是它们在同一个量纲为1的单元坐标体系中有相同 的量纲为1的模型：模型的结构相同且各特征数数值一一对应相等.以冶金工程中常见的问 题一一维非稳态传导传热问题为例进行了说明与讨论.指明在量纲为】的单元坐标体系中 不同现象的规律性之区别仅在于变量之间的关系不同，并不依赖于描述实际现象的方程，只 要现象相似，它们在量纲为1的单元坐标体系中有相同的模型且有相同的解，在量纲为1的 单元坐标体系中具有相同结构模型的现象是同类现象，同类现象中特征数数值对应相等的 现象才是相似现象， 关键词相似理论：特征数：无量纲分析：量纲 分类号TF03:N032:0411.3 1现象的相似性 算机的高性能计算，研究和解析冶金反应器和系 统操作过程特性，无论在新工艺、新流程或新型 现象的相似性是自然界普遍存在的规律之 反应器的开发过程中进行其特性预测及优化设 一.自18世纪以来，人们对其认识逐步深化，总 计，还是对现有流程或反应器的技术革新及优化 结出相似原理，并广泛用于指导工程技术和科学 操作，都能提供大量的信息和依据，已成为一种 研究.最著名的早期工作是关于流体流动特征的 有效可行的方法 研究，在大量实验研究的基础上认识到存在一个 长期以来对相似基本理论最系统的概括即 表征流体流动特征的特征数一雷诺数Re,例 为“相似三定理”，但“相似三定理”作为相似的基 如，对于雷诺数相同的管流，则其流动特征相同. 础理论对相似理论概括得是否最准确、最全面、 此后，逐渐认识到对于各种现象都存在着表征其 最完整还有待研究，早在20世纪50年代Langhaar 特征性质的特征数，由此认识到现象的相似性普 等就对Buckingham定理提出不同意见并进行研 遍存在，并提出了相似的基本原理， 究，60年代我国石炎福也对此理论进行研究和论 “无因次准则相等的现象相似”，这一原理指 证，近年也有文章就相似理论的局限性和存在 出了现象相似的必要条件；“相似的现象具有相 问题进行探讨和研究. 同的无因次准则，且其数值相等”，这一原理指出 了现象相似的充分条件)，关于相似原理的认识， 2量纲为1的模型和特征数 提出了表示若干典型现象其特征性的特征数，例 如流体流动现象的雷诺数Re、弗劳德数Fr,传导 为了形象地说明和讨论相似现象的数学物 传热现象的傅里叶数Fo等等， 理本质，现借助于一个典型的问题来举例说明. 将量纲的和谐性原则与特征数的相似原理 2.1典型问题 相结合，产生了相似第三定理一白金汉(Buck 以冶金过程中常遇到的无限大平板的一维 ingham E)定理，即著名的π定理，应用相似理 非稳态传导传热问题为例，其基本微分方程为： 论，采用物理模拟实验或数值模拟计算，借助计 8- (1) 初始条件为： 收稿日期2003-12-10季淑娟女，39岁，副研究员，顾士 T=T(x=0,-L≤x≤L) (2) *国家自然科学基金资助项目(No.50144005)

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 从典型冶金过程 问题看现象相似 的数理本质 季淑娟 李士 琦 北 京科技大 学冶金 与生 态 工 程 学 院 ， 北京 摘 要 指 出 了现 象相 似 的数 学物理 本质是 它们 在 同一 个量纲 为 的单元坐 标体系 中有 相 同 的量 纲 为 的模型 模型 的结构 相 同且 各特征 数数值一 一 对 应 相 等 以冶金 工 程 中常 见 的 问 题— 一 维 非稳态传 导传 热 问题 为例进 行 了说 明与 讨论 指 明在量纲 为 的单元 坐 标体系 中 不 同现象的规 律性之 区 别仅在 于 变量 之 间 的关系不 同 ， 并不 依 赖 于 描述 实 际 现象 的方 程 只 要 现 象相似 ， 它们 在 量 纲 为 的单元 坐 标体系 中有相 同 的模型且 有相 同 的解 在 量纲 为 的 单元 坐 标体 系 中具 有 相 同结构模型 的现象 是 同类 现 象 ， 同类现 象 中特征 数 数值 对 应 相 等 的 现象才 是相似现象 关键词 相 似理 论 特征数 无量 纲 分析 量 纲 分 类号 ‘ 现 象 的相 似 性 现 象 的相 似 性 是 自然 界 普 遍 存 在 的规 律 之 一 自 世 纪 以来 ， 人 们 对 其 认 识 逐 步深 化 ， 总 结 出相似 原理 ， 并广泛 用 于指 导 工 程技 术和 科 学 研 究 最 著名 的早 期 工 作 是关于流 体流 动特 征 的 研究 ， 在 大量 实验研 究 的基础 上 认 识到 存在 一个 表 征 流 体 流 动 特 征 的特 征 数— 雷 诺 数 ， 例 如 ， 对 于雷 诺数相 同的管流 ， 则其 流 动特征相 同 此 后 ， 逐渐认 识 到对 于 各种 现象 都存 在着表 征其 特 征性质 的特 征 数 ， 由此认 识 到现 象 的相似 性普 遍 存 在 ， 并提 出 了相 似 的基 本 原理 “ 无 因次准 则相 等 的现 象 相 似 ” ， 这 一 原理 指 出 了现 象 相似 的必 要 条件 “ 相 似 的现 象 具 有相 同的无 因次准 则 ， 且 其数值 相等 ” ， 这 一 原理 指 出 了现象相似 的充分 条件 ‘日 关 于 相似 原理 的认 识 ， 提 出 了表 示若 干 典型现象其特 征性 的特 征数 ， 例 如 流 体流 动现 象 的雷 诺 数 、 弗 劳德 数 ， 传 导 传 热 现 象 的傅里 叶数 等等 将 量 纲 的和 谐 性 原 则 与特 征 数 的 相 似 原 理 相 结合 ， 产 生 了相 似 第 三 定理— 白金 汉 卜 访 定理 ‘ ， 即著 名 的二 定理 应用 相 似 理 论 ， 采 用 物 理 模拟 实验 或 数 值模 拟 计 算 ， 借 助 计 算机 的高性 能计 算 ， 研 究和解 析冶 金 反应 器和 系 统 操 作过 程特 性 ， 无 论 在 新 工 艺 、 新 流 程 或 新 型 反 应 器 的 开 发 过 程 中进 行 其特 性 预 测 及 优 化 设 计 ， 还 是对 现 有 流程 或 反应 器 的技术 革 新 及优化 操 作 ， 都 能提 供 大 量 的信 息 和 依 据 ， 己 成 为一 种 有 效可 行 的方 法 长 期 以来 对 相 似 基 本 理 论 最 系 统 的概括 即 为 “ 相似三 定理 ” ， 但 “ 相似 三 定理 ” 作 为相似的 基 础 理 论 对 相似 理 论 概 括得 是 否 最 准 确 、 最 全 面 、 最 完整 还 有待研 究 ， 早在 世 纪 年代 等 就 对 定 理 提 出不 同意 见 并进 行 研 究 ， 年 代我 国石 炎福 也对此 理 论进 行研 究 和 论 证 ‘ ， 近 年 也有 文 章就 相 似 理 论 的局 限性和 存 在 问题 进 行 探 讨和 研 究朋 量 纲 为 的模型和 特 征 数 为 了形 象 地 说 明和 讨 论 相 似 现 象 的 数 学 物 理本 质 ， 现 借助 于 一个 典 型 的 问题 来举例 说 明 顶， 典型 问题 以冶 金 过 程 中 常 遇 到 的无 限大 平 板 的 一 维 非 稳态传 导传 热 问题 为例 ， 其基 本微 分方 程 为 百石刊百牙 初 始条件 为 收稿 日期 一 一 季淑娟 女 ， 岁 ， 副研 究 员 ， 硕 士 国家 自然科学基金 资助项 目 不 ， 一 ‘ ‘ DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．2004．04．032

·358. 北京科技大学学报 2004年第4期 边界条件为中心线上两侧温度场对称： 的模型，包括定解微分方程、量纲为1的量和量 aTl 0x0 =0(x>0) (3) 纲为1的形式的解，其中含有特征数（如Fo,B), 板外侧处于第三类边界条件： 而不含量纲不为1的参数（如k,h,p,c,等）.称式(1) aT 和(14)为问题的参数模型，包括量纲不为1的定 -k0x-“ =h(T-Ta)(x>0) (4) 解微分方程和量纲不为1的形式的解，其中均含 其中，x,t分别是空间和时间自变量：T=x,)为 量纲不为1的参数. 温度场：L为12板厚：T,T分别是板子初始温度 和环境温度：a=pc,为板材的热扩散系数：k,p,cp 3讨论 分别是板材的导热系数、密度和热容；h为板子表 3.1量纲为1的单元坐标 面与环境介质之间的给热系数， 量纲为1化的结果使各自变量和因变量都转 2.2量纲为1化 化为取值范围为01的“纯数量”值，而对于其他 取L为定性尺寸，定义量纲为1的位置： 取值范围的情况可以通过平移、放大或缩小转化 X=X/L (5) 为01范围.变量量纲为1化的结果使之转变为 量纲为1的温度： 品 没有量单位的“纯数学量”一一只有取值大小且 (6) 量纲为1.由此可知，任何实际现象经量纲为1化 量纲为1的时间： 后都可“映射”到一个量纲为】的单元纯数值坐 Fo (7) 标系中，简称“量纲为1的单元坐标系NDUC)”. 于是上述偏微分方程的定解问题式(1)(4) 自变量和因变量量纲为1化以后，模型中各 转化为以下量纲为1的偏微分方程的定解问题. 项参数也量纲为1化，而形成表述现象特征的特 其基本微分方程为： 征数，如例中的Fo,Bi等特征数， a8_a8 0Fo0X (8) 在这个量纲为1的单元坐标系中不同现象的 规律性之区别仅在于变量之间的关系不同，对于 初始条件： 前述例子是为其微分方程及其解的函数.从更广 ⊙=1(Fo=0,-1≤X≤1) (9) 泛的意义来说，现象的规律性可能无法写成微分 中心边界条件： a⊙ 方程或微分方程没有解析解等情况，但是可以推 =0(Fo>0) 8X (10) 知：只要实际现象存在着惟一的关系（无论是确 板壁边界条件： 定性的，还是随机性的，还是模糊的)，就可以在 0⊙l X =Bi⊙ (11) 量纲为1的单元坐标系中找到它的量纲为1的关 其中Bi=Lh/k为毕渥数. 系一一在此称之为量纲为1的单元问题. 2.3量纲为1的解 3.2现象相似的数理本质 对量纲为1的偏微分方程的定解问题如式 量纲为1的单元问题经“逆映射”可以重新转 (⑧)(11)，采用常规的数学物理方法求解（如分离 化为现实空间的实际问题，一个量纲为1的单元 变量化)可得到量纲为1的形式的解： 问题可以转化成无数个现实的参数问题；反之， 2sind.cos(6Xexp(Fo) 许多现实问题量纲为1化后能够是一个相同的 1 o.+sino,coso (12) 其中，特征值δ满足特征方程 量纲为1的单元模型. cotd,-叠 具有相同量纲为1的单元模型的现象相似， (13) 或反之由同一个量纲为】的单元模型“逆映射” 2,4量纲不为1的解 而成的现象实际之间相似， 将式(12)利用量纲为1化（式(5）(7)逆变换而 在量纲为1的单元坐标系中的模型结构相同 转化为常见的量纲不为1的形式： 且特征数数值相同，逆映射至现实坐标系中的现 T-T2sind.cos(x/)exp(at/L T,-T。41 (14) 6.+sin6.cosd。 象相似；若同样的模型其解的形式相同，但其特 其中特征值6.满足特征方程 征数数值不同，则可认为是同类现象，如上例，凡 coto,=ko/Lh (5-1) 是具有式(1)类型的一维传热问题，在量纲为1的 为讨论方便，称式(5(13)为问题的量纲为1 单元坐标系中模型式（⑧）结构上是一样的，故其

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 边 界 条件 为 中心 线 上两 侧 温 度 场 对 称 刁 八 ， 八 、 万丁 砚多夕 再 卜二 板 外侧 处 于 第 三 类 边 界 条 件 一 嚼 二 。 一 ” ‘升兀，‘ ， 其 中 ， ， 分 别 是 空 间和 时 间 自变 量 爪工力 为 温度 场 为 板 厚 不 ， 分别 是板 子 初 始 温 度 和 环 境温 度 二 你 为板 材 的热 扩 散 系数 ， ， 心 分别 是板 材 的导热 系 数 、 密 度 和 热 容 为板 子 表 面 与 环 境 介 质 之 间 的给 热 系 数 量 纲 为 化 取 为 定 性 尺 寸 ， 定 义 量 纲 为 的位 置 丫 工尾 量 纲 为 的温 度 的模 型 ， 包 括 定解 微 分 方 程 、 量 纲 为 的量 和量 纲 为 的形 式 的解 ， 其 中含 有 特 征 数 如 ， ， 而 不含 量 纲 不 为 的参 数 如 ， ， ， 哪 等 称 式 和 为 问题 的参 数 模 型 ， 包 括 量 纲 不 为 的 定 解 微 分 方 程 和 量 纲 不 为 的形 式 的解 ， 其 中均 含 量 纲 不 为 的参 数 ， 量 纲 为 的 时 间 曰 一 辫 肠 一 等 于 是 上 述 偏 微 分 方 程 的 定 解 问题 式 一 转化 为 以下 量 纲 为 的偏 微 分 方 程 的定解 问题 其 基 本微 分 方 程 为 了、妞了、 曰 、、、了户夕户 了、了 刁曰 口 丽石二 ， 瓦砰 初 始 条 件 口 二 中心 边 界 条 件 凡 ， 一 ‘ 曰 生 曰 。 ， 八 百万 护 户 曰 飞 月 板 壁 边 界 条 件 口 衷犷 、 、 “ 川 妙 其 中 为 毕 涯 数 量纲 为 的解 对 量 纲 为 的偏 微 分 方 程 的 定 解 问题 如 式 卜 ， 采 用 常 规 的数 学 物 理 方 法 求 解 如 分 离 变 量 化 可 得 到 量 纲 为 的形 式 的解 、， 户 口二 艺 ‘、了 且，卫 ， 、了 月 言 笼 ， 氏 氏 其 中 ， 特 征值氏满 足 特 征 方 程 氏 口 ， 二 两丫 刀忍 最纲 不 为 的解 将 式 利用 量 纲 为 化 式 卜 逆 变 换 而 转 化 为 常 见 的量 纲 不 为 的形 式 一 不一 一 呈 “ 红占详 罗 ， 画 月十 氏 其 中特征 值氏满 足特 征 方 程 氏 二 肋洲乙 一 为讨 论 方 便 ， 称 式 卜 为 问题 的量 纲 为 讨 论 量 纲 为 的 单 元 坐标 量 纲 为 化 的结果 使 各 自变 量 和 因变量 都 转 化 为 取 值 范 围为 一 的 “ 纯 数 量 ” 值 ， 而对 于 其他 取 值 范 围的情 况 可 以通 过 平 移 、 放 大 或 缩 小转 化 为 一 范 围 变量 量 纲 为 化 的 结 果使 之 转变 为 没 有 量 单 位 的 “ 纯 数 学 量 ” — 只 有 取 值 大 小 且 量 纲 为 由此 可 知 ， 任 何 实 际现 象 经 量 纲 为 化 后 都 可 “ 映 射 ” 到 一 个 量 纲 为 的单 元 纯 数值 坐 标 系 中 ， 简称 “ 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 ” 自变 量 和 因变 量 量 纲 为 化 以后 ， 模型 中各 项 参 数 也 量 纲 为 化 ， 而 形 成 表 述 现 象特 征 的特 征 数 ， 如 例 中 的 ， 等 特征 数 在 这 个 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中不 同现 象 的 规 律 性 之 区别 仅 在 于变 量 之 间 的关 系 不 同 对 于 前 述 例 子 是 为其 微 分 方 程 及 其 解 的 函数 从 更 广 泛 的意 义 来 说 ， 现象 的规 律性 可 能无 法 写 成微 分 方程 或 微 分 方程 没 有解 析解 等 情 况 ， 但 是 可 以推 知 只 要 实 际现 象存 在 着 惟 一 的关 系 无 论 是 确 定 性 的 ， 还 是 随 机 性 的 ， 还 是 模 糊 的 ， 就 可 以在 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中找 到它 的量 纲 为 的关 系— 在 此 称 之 为 量 纲 为 的单 元 问题 现 象 相 似 的数 理 本质 量 纲 为 的单 元 问题 经 “ 逆 映射 ” 可 以重 新转 化 为现 实 空 间 的实 际 问题 一个 量 纲 为 的单 元 问题 可 以转 化 成 无 数 个 现 实 的参 数 问题 反 之 ， 许 多现 实 问题 量 纲 为 化 后 能够 是 一 个 相 同 的 量 纲 为 的 单 元 模 型 具 有 相 同量 纲 为 的单 元 模 型 的现 象 相 似 ， 或 反 之 由同一 个 量 纲 为 的单 元 模 型 “ 逆 映射 ” 而 成 的现 象 实 际 之 间相 似 在 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中的模 型 结构 相 同 且特 征 数 数 值相 同 ， 逆 映射 至 现 实坐 标 系 中 的现 象 相 似 若 同样 的模 型 其解 的形 式 相 同 ， 但 其 特 征 数 数 值 不 同 ， 则 可 认 为 是 同类现 象 如上 例 ， 凡 是 具 有 式 类 型 的一 维传 热 问题 ， 在 量 纲 为 的 单 元 坐 标 系 中模 型 式 结 构 上 是 一 样 的 ， 故 其

Vol.26 No.4 季淑娟等：从典型冶金过程问题看现象相似的数理本质 ·359 解的形式相同；但由于其特征数Fo,Bi的取值有 含义表现为特征数. 差别，故其解式(12)是不一样的，它们是同类现 (3)量纲为1的单元坐标系中具有相同结构 象而不是相似现象. 的模型的现象是同类现象，同类现象中特征数数 由于在单元坐标系中量纲为1，所以实际现 值一一对应相同的现象才是相似现象， 象的背景对量纲为1的单元模型及其解没有影 响，只要具有相同的量纲为1的单元模型的现象 参考文献 且对应的特征数一一对应相等，其现象之间就可 1基尔皮契夫MB.相似理论M).沈自求译，北京：科 相似代换，例如传热和扩散之间的相似性， 学出版社，1955.2 2 Buckingham E.On physically similar systems,illustra- 4结论 tions of the use of dimensional equations [J].Phys Rev, 1914,IV(2):345 (1)一切有规律可循的现象都可以通过将其 3 Langhaar H L.Dimensional analysis and theory of model 变量量纲为1化、归一化，归结为量纲为1单元坐 [M].New York:Join Wiley,1951 标系中的量纲为1的模型. 4柴立和，文东升.相似理论的新视角探索).自然杂 (2)量纲为1的模型中的自变量和因变量量 志，2000,22(3)：168 纲为1，因此不再具有直接的物理含义，只是取值 5胡金凌.相似理论在化学工程中应用的局限性仍 沈阳化工.1999,28(1)：58-60 为01之间“纯数值”变量.模型的特性表现为变 6李士琦.冶金系统工程M.北京：冶金工业出版社， 量之间的关系（模型结构）和特征数，现象的物理 1991.42 Mathematical Physics Essentiality of Phenomenological Similitude Based on Some Typical Metallurgical Processes JI Shujuan,LI Shiqi Metallurgical and Ecological Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT The mathematical physics essentiality of phenomenological similitude is pointed out to have the same dimensionless models,including the same model structures and the same values of all characteristic numbers in a dimensionless normalized coordinate basis.As an example of metallurgical process,unsteady one-dimension heat transfer conduction is here discussed and one presents that the difference in variant physical phenomena in a dimensionless normalized coordinate basis depends upon the relationships between those parameters,not upon the equations themselves which describe physical phenomena.If there is an unique relationship between physical phenomena in the real world,then their dimensionless relationship in a dimensionless normalized coordinate basis can be found out.The phenomena with the same model structures are called as homogeneous phenomena.If the va- lues of their characteristic numbers are also equal in homogeneous phenomena,then they belong to similar pheno- mena. KEY WORDS similarity theory;characteristic numbers;dimensionless analysis;dimension

叭， 季淑 娟 等 从 典型 冶 金 过 程 问题 看现 象相 似 的数 理 本质 解 的形 式相 同 但 由于 其特 征 数 ， 的取 值 有 差 别 ， 故 其解 式 是 不 一 样 的 ， 它们 是 同类 现 象 而 不 是 相 似现 象 由于 在单 元 坐 标 系 中量 纲 为 ， 所 以实 际现 象 的背 景 对 量 纲 为 的单元 模 型 及 其 解 没 有 影 响 ， 只 要 具 有相 同 的量 纲 为 的单元 模 型 的现 象 且对 应 的特 征数 一 一 对应 相 等 ， 其 现 象 之 间就 可 相 似代 换 ， 例 如 传 热 和 扩 散 之 间 的相 似 性 含 义 表现 为特 征 数 ， 量 纲 为 的单 元 坐 标 系 中具 有相 同 结 构 的模 型 的现象 是 同类现 象 ， 同类 现象 中特 征 数 数 值 一 一对 应 相 同的现 象 才 是 相似 现 象 参 考 文 献 结论 一 切 有规 律 可 循 的现 象 都可 以通 过 将 其 变 量 量 纲 为 化 、 归 一 化 ， 归结为量 纲 为 单元 坐 标 系 中的量 纲 为 的模 型 量 纲 为 的模型 中的 自变量 和 因变量 量 纲 为 ， 因此 不 再 具有 直接 的物 理含 义 ， 只 是取 值 为 一 之 间 “ 纯 数 值 ” 变 量 模 型 的特 性表 现 为变 量 之 间 的关 系 模 型 结构 和 特征 数 ， 现 象 的物 理 基 尔皮契 夫 相 似理 论 、 沈 自求 译 北 京 科 学 出版社 ， ， ， ， ， 柴立 和 ， 文 东升 相 似 理 论 的新视角探索 自然 杂 志 ， ， 胡 金 凌 相似理 论 在 化 学 工 程 中应用 的局 限性 沈 阳化 工 ， 一 李 士琦 冶金系 统工 程汇 北 京 冶金 工 业 出版 社 ， ， 呷 加 比 ， ， ， 七 ， 晚 田叽 ， 一 恤 ， 七那 场 ， 刀 奴 叮