D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1992.03.035 北京科技大学学报 第14卷第3期 Vol.11 No.3 1392年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 1992 变截面Timoshenko梁的有限元解法 杨揆一… 金建国· 捕要：把J.Thomas等提出的常截面Timoshenko梁的单元矩阵扩展应用于变裁面 的Timoshenkoi梁。从计算结果和按简单梁处理的比较中可以看出：梁的粗端的剪切变形 和转动惯性对系统的固有顿率有较大影响。 关键词：单元刚度矩阵，剪切变形，转动惯性 The Finite Element Method for a Variable Cross-Section Timoshenko Beam Yang Kuiyi Jin Jianguo' ABSTRACT:Expanded the elemental matrix of a uniform Timoshenko beam by J.Thomas into the matrix of a variable cross-section Timoshenko beam.By comparing with the simple beam,the present results show that:the influence of the wider end of bcam on natural frequency arc larger. KEY WORDS:stiffness matrix of the clement,shear deformation,rotary ine- rtia 求解Timoshenko梁的解析法仪能解决一些简单的特殊问题。K.Kapunc1),D.Egle2), R.Davist3),以及J,Thomas and B.A,H.Abbast4等曾先后提出了Timoshenko梁的各 种有限元模型，并计算了一些常截面梁的固有频率。为计算变截面梁的固有频率，本文扩展 1991-12-21收稿 ·数力系(Dep2 rtment of Mathematics2 nd Mechanics) 389
第14 奋第 3期 1 , 92 年 5月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n i v e r s i t y o f S e i e n e e a n d T o e h n o l o g y V o l 。 1 1 N o . 3 B e i j i n g M a y i 。。 2 变截面iT m o s he n ko 梁的有 限元解法 杨 年癸一 金建 国气 摘 要 : 把 J . T h o m : 。等提出的常截 面 iT m os h o n ko 梁 的单 元矩 阵扩展 应用 于变截面 的 T i m o s h e n k 。 梁 。 从计算结果和按简单梁处理的比较 中可以看 出 : 梁的粗端 的剪切变 形 和转 动惯性 对系 统 的 固 有频率 有较大影响 。 关 越词 : 单 元刚 度矩 阵 . 剪 切变 形 . 转动惯性 T h e F i n i t e E l e m e l t M e t h o d f o r a V a r i a b l e C r o s s 一 S e e t i o n T i m o s h e n k o B e a m 犷a n g K u i y i . J i n J i a n g “ o 奋 AB ST R A C T : E x p a n d e d t h e o l e m e n t a l m a t r i x o f a u n i f o r m T i m o s h e n k o b e a m b y J . T h o m a s i n t o t h e ln a t r i x o f a v a r i a b l o e r o s s 一 s e e t i o n T i m o s h e n k o b e a m 。 B y e o m P a r i n g w i t h t h e s i m p l e b e a m , t h o p r e s e n t r e s u l t s s h o w t h a t : t h e i n f l u e n e e 口 尸户 o f t h e w i d e r K E Y W O R D S : e n d o f b e a nt o 且 n a t u r a l f r e q u e n e y a r e l a r g e r . , 5 t i f f n e s s ln a t r i x o f t h o c l e m e n t , s h e a r d e f o r m a t i o ri , r o t a r y i n c - f t i a 求 解 T i m o s h e n k o 梁的 解析法 仪能解决一些 简单的 特殊 问题 。 K . K a p u l l 〔 ` ’ , D 。 E g l e 〔 “ ’ , R . D a v i s ` 3 〕 , 以及 J 。 T h o m a s a n d B . A , H . A b b a s 〔 魂 〕等 曾先后提出 了 T i m o s h e n k o 梁 的 各 种有限元模型 , 并计算 了一些常截面 梁的固有频率 。 为计算变截面梁的固有频率 , 本文扩展 1 99 1 一 1 2 一 2 1 收稿 一 数 力系 ( D e P a r t皿 e n t o f M a t h e m a t i e s a n d M e e h a n i e s ) 3 8 9 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1992. 03. 035
了文献〔4幻中所建立的单元矩阵。经实际计算表明：这种方法可以用于求解各种变截面类型 的Timoshenko梁。 1单元刚度矩阵 引入符号、 1一单元长度； y一梁的挠度， 的=y/1 中一由弯矩引起的梁的斜度， '一梁的总斜率，即的导数： 中'一的导数。 设单元两端的节点分别为和，其状态关量为中，中。，'，，种，中，：，中)r 对于截面积为A()截面惯性矩为I()的变截面梁，梁单元的弹性势能为： U=子Ej()(映）dx+}GA)(-）x (1) 式中E一材料的弹性模量，G一剪切弹性模量，k一截面剪切系数，将式中的x用无量纲变 量”=x/1代替，则(1)式变为： U冬手w()+子c1了4)（聘-） (2) 把种和中分别展开成的三次多项式，按照传统的有限元方法可以确定出： 中(7)=(1-372+273)中，+(（7-22+刀3)'，+(3n2-273)中，(-n2+73)',(3) 和中(7)=(1-3n2+2初3)：+（n-2n2+n3)中：+(3)2-273)中，+(-72+73)'，(4) 如果横截面积和截面惯性矩作为的函数为已知，那末式(2)原则上可以写成： U=日{s}'cK{5} (5) 其中{}为状态矢量[的，中，，'：，中'：，单， 中，'，中'，了”，单元刚度矩阵[K]的每一个元 素都是(2)式中相应的积分。 例如图1所示的截面为正方形，边长按线 性规律变化且两端截面高度为1：2的梁单元。 4。 其截面积函数为A(n)=A,(1+n)2,截面惯 性矩函数为I(n)=A(1+7)‘/12,把这两个 函数及式(3)、(4)代入(2)经计算，并设G/E= 3/8,K=2/3,1=20,A。=4,得到的刚度矩阵 图1有限元慎型 是： Fig.1 A typical finite clement 390
了文献〔4〕中所建立的单 元矩阵 。 经实际计算表明 : 这种方法可以用于求解各种变截面 类 型 的 T i m o s h e n k o 梁 。 1 单元刚度矩阵 引入符号 、 l一单元长度 ; 功一 由弯矩 引起的梁的斜度 , 诱 尹 一诱的导数 。 设单元两 端的 节点分 别为 i和j , 对于截面积为 A ` 二 ) 截面惯性矩为I ` : , y 一梁的挠度 , 护二 y l ; 叻 ` 一梁的 总斜率 , 即护的导数; 其状态矢量为〔护 ` , 必 . , 护“ , 劝“ ` 护 , , 必 , , 护丁 , 功二〕 丁 的变截面 梁 , 梁单元的弹性势能为 : ` , U = 合 E爹 I ( · ) (鲁 ) ’ d 二 + 十 “可 A ( 二 ) (斋 一 , : )二 X O O ( 1 ) 式 中 E一材料的弹性模量 , G 一剪 切弹性模量 , k 一截面剪 切系数 , 将式 中的 x 用 无量 纲 变 量 , 二 “ / I代替 , 则 ( 1) 式变为 : _ t i : U 二 令郡 I ` , , (兴) ` , + 于 ` G` I A`。 , (爵 一 ` ) ` , O 0 ( 2 ) 把尹和必分别展开 成刀的 三次多项式 , 按照传统的 有限元方法可以确定出 : ` l 声 ó 八 」、尸 O 了几`矛、 任月 护(们 = 和 拟们 = ( 1 一 3 , “ + 2 , “ )价 , + ( 甲一 2 , “ + 刀“ )叻“ + ( 3 , : 一 2 , 3 )价 , ( 一 刀“ + , 3 ) 价 ` , ( 1 一 3 , 2 + 2 , “ )毋 , + ( , 一 2 , “ + , 。 )功 , 。 + ( 3 , 名 一 2 , 3 ) 价 , + ( 一 口“ + 叮 3 ) 价 ` , 如果横截面积和截面惯性矩作为 , 的 函数为已知 , 那末式 ( 2) 原 则上可以 写成 : ( 5 ) y I E 、 , 宁 r 尸 。 , 亏 , U = 专子 } 亡 { 〔们 { ` 其 中 {二}为状态矢 量 砷 , , 价 , , 劝 , ` , 价 产 ` , 护 , , 价 , , 护 产 , , 价 尹 , 〕 r , 单元 刚度矩阵〔K 〕的每一个元 素都是 (幻 式中相应的积分 。 例如图 1 所示的截面为正方形 , 边长按线 性规 律变化且两 端截面高度为 :1 2 的梁单元 。 禹 其截面积函数为 A ( 功 二 A 。 ( 1 + 灯) 2 , 截 面 惯 性矩函 数为 I (们 二 A 盆l( + 功 ` / 12 , 把这两 个 函数及 式 ( 3) 、 ( 4) 代入 (2 ) 经计算 , 并设 G 了E 二 , 3 / 8 , K 二 2 / 3 , l = 20 , A 。 = 4 , 得到的 刚度矩阵 是 : ~ 、 、 、 刁 卜一一月 F 19 图 1 A 有限元模型 y P i e a l f i n i t c c l e m e n t 粉
345602412046805220-3456033840900 -6300 7499.6-17401213.9-241203420.44020-855.5 2760330-46807620-1020 -1230 248.6-5220886.1690-215.5 [K]= 504 对 34560-33840-9006300 1506-10740-874.5 称 5280 390 380 2单元质量矩阵 设材料的密度为P,梁单元的动能可以写成： T=pA()x+名p∫rx)pax (6) 把积分换成无量纲的形式，则： 7=合p4)+号pl1mi7 (7) 对于任意已知的A(n)和I(n),式(7)原则上可以写成： T=是p{}M{ξ} (8) 仍以图1所示的变截面梁单元为例，经计算其质量矩阵为： 240.666038.3330123.3330-28.166 0 0.333900.060800.24850-0.0537 7.6667031.1660-6.833 0 0.012900.06540-0.0136 CM]= A。 对 420 492.660-62.8330 1.339 0-0.155 称 10.6660 0.0246J 391
, : 二 崇 3 4 5 60 2 4 1 2 0 4 6 8 0 5 2 2 0 74 9 9 。 6 一 17 4 0 1 2 13 。 9 2 7 6 0 3 3 0 2 4 8 。 6 对 称 一 3 4 5 6 0 3 3 8 4 0 9 0 0 一 6 3 0 0 一 2 4 1 2 0 3 4 2 0 。 4 4 0 2 0 一 8 5 5 。 5 一 4 6 8 0 7 6 2 0 一 1 0 2 0 一 12 3 0 一 5 2 2 0 8 8 6 。 1 6 9 0 一 2 1 5 。 5 3 4 5 6 0 一 3 3 8 4 0 一 9 0 0 6 3 0 0 1 5 0 6 一 1 0 74 0 一 8 7 4 。 5 5 2 8 0 3 9 0 3 8 0 2 单元质量矩阵 设 材料的密度为 p , 梁单元的 动能可以写成 : T = 牛 。 「 ` , ( 二 )歹 Z d X + 令 。 l ` , ( x )乒 Z d x ` J 。 ` 了 “ ( 6 ) 把积分 换成无量纲的 形式 , 则 : I : 一 李 , , 3 r 扣 ` , (。 )杯 : a。 十 一 乏 一 , , { , (。 )挤 : d。 乙 之 。 ` 斌 ( 7 ) 对于任意 已知的 A (们 和 I (叮) , 式 ( 7) 原则上 可以 写 成 : 丁· 专 , ` 3 {三} 仁M , { 三} 仍以图 1所示的 变截面梁单元为例 , 经计算其质量矩阵为 : ( 8 ) 2 4 0 。 6 6 6 0 3 8 。 3 3 3 0 。 3 3 3 9 0 0 1 2 3 。 3 3 3 0 0 。 0 6 0 8 0 0 。 2 4 8 5 0 3 1 。 1 6 6 0 0 。 0 1 2 9 0 0 。 0 6 5 4 4 9 2 。 6 6 0 1 。 3 3 9 称 一 2 8 。 1 6 6 0 一 6 。 8 3 3 0 6 2 。 8 3 3 0 1 0 。 6 6 6 一 0 一 0 53 7 7 。 6 6 67 〔M 〕 = 当 } ` 2 1 对 一 0 。 0 13 6 0 一 0 。 1 5 5 0 0 。 0 2 4 6 3 9 1
3 数值计算 图2中为正方形截面简支梁。左端截面积为2cm×2cm,每20cm轴向长度其高度增加2cm, 故80cm长的梁的右端截面为10cm×10cm。 设单元长度为20cm,可直接应用上述单元矩阵 [K]和[M]。在材料（铝）的密度p=2800kg/m3 和弹性模量E=70×10N/m3的数值条件下， 我们计算了L分别为80cm,100cm,120cm和 80cm 140cm等4种情况的一阶固有频率。表1列出了 这些数值与同样尺寸简单梁的固有频率的比较 (简单变截面梁可以由Bessel函数组成准确 图2梁的儿何尺寸 解)。 Fig.2 Gcometry of a beam 表1简单梁和Timoshenko梁1阶领率的比较 Table 1 Comparison of fundamental frequency for Timoshenko beam with the simple beam 长度L/cm 简单梁的基频，(rad/s) Timoshenko梁的基频，(rad/s) 相差，% 80 1030 985 44 100 774 687 11.2 120 622 514 17,4 140 519 403 22.4 从表1可以看出，当变截面梁的细端确定以后，其粗端延伸越多，剪切变形和迥转惯性 丝频率的影响越大，这是和以往的理论和实验是一致的。 4结 论 (1)在迄今为止的几种Timoshenko梁单元矩阵中，J.Themos等所建立的模型能比较直 接地扩展到变截面梁。 (2)变截面梁的粗端所占的成分越大，则剪切变形和迥转惯性对固有频率的影响越明 显。 参考文献 1 Kapun K.Jour,Acoustical Society of America,1966,40:1058 2 Egle D.NASA CR-1317,1969 3 Davis R,et al.Jour.Sound and Vibration,1972,22:475 4 Thomas J,Abbas B A H.Jour.Sound and Vibration,1975,41:291 392
3 数 值 计 算 图 2中为 正方形截面简支 梁 。 左端截面积为 cZ m x cZ m , 每 2 c0 m 轴 向长度其高度增加 cZ m , 故 8 0 c m 长的 梁的 右端截面为 10 e m x i o e m 。 设 单元长度为 20 o m , 可直接应用上述单元矩 阵 〔K 〕和 〔M 」 。 在材料 ( 铝 ) 的 密度 p = Z s o o k g / m 3 和 弹性模量 E = 70 x 10 ON Zm “ 的 数值条件下 , 我 们计算 了 L 分别为 s o e m , i o o e m , 1 2 0 e m 和 1 4 o c m 等 4种情况 的 一阶 固有频率 。 表 1 列出了 这 些数值与 同样尺寸简单梁的 固有频率的 比较 (简单变截面梁可以 由 B e s s e l 函数 组 成 准 确 解 ) 。 一 一一 一 一介 ~ ~ ~ ~ 、 一 “ 。二 州 达 图 2 梁的几何尺寸 F 1 9 。 2 G e o m e t r y o f a b e a m T a b l e 表 1 简单梁 和 iT m 。 : h e n k 。 梁 1阶 孩率的比较 C o m p a r i s o n o f f u n d a m e n t a l f r e q u e n e y f o r T i m o s h e n k o b e a m w i t h t h e s i m P l e b e a m 长度 L / c m 简单梁的基频 , (r a d /s) T i m o s h e n k o 梁 的墓频 , ( r 急 d / s ) 相 差 , % 1 0 30 7 7 4 6 2 2 5 1 9 4 。 4 1 1 。 2 1 7 一 4 2 2 。 4 68795514403 0几ù月`01 八幻八甘ǐ”nU 口J J d l ,占. ,上 从表 1可 以看 出 , 当变截面梁的 细端确定以后 , 其粗端延伸越多 , 剪切变形和迥 转 惯性 杠频率的 影响越大 , 这是和以往的理 论和 实验是一致的 。 4 结 论 ( 1) 在迄今 为 止的 几种 iT m o s h e o k 。 梁单元矩阵中 , J . T he m 。 “ 等所建立的模型能 比较直 接地 扩展到 变截面梁 。 ( 2) 变截面 梁的 粗端所 占的 成分越大 , 则剪切变形和迥转惯性对 固有频率的 影 响 越 明 显 。 参 考 文 献 K a p u n K . J o u r . A e o u s t i e a l S o e i e t y o f A m e r i e a , 1 9 6 6 , E g l e D 。 N A S A C R 一 1 3 17 , 1 9 6 9 D a v i s R , e t a l 。 J o u r . S o u 创d a n d V i b r a t i o n , 1 9 7 2 , 2 2 : T h o m a s J , A b b a s B A H 。 J o u r 。 S o u n d a n d V i b r a t i o n , 搜0 : 1 0 5 8 4 7 5 1 9 7 5 , 4 1 : 2 9 1 3 9 2
