Vol.21 No.3 王淑珍：线形奇异系统的特征结构配置 315 情况I 22p,≤n: 我们用文献[9]的模型来讨论 对(sE-A)为正则束的广义系统(1)，还可I. 为讨论方便，设Σ2p则=n(若不等，可增添 1j° s.e.于 若干个与已有的人不同的实数：及对应的 B h=1p=1,使等式成立)，这时有定理1： 0 0 0 + B (9) 定理1系统(3)能经状态反馈： 0 u=Kix1. a0o儿 配置特征结构{，h,p}的充分条件为： 其中，x∈R,i,=r(E)=q,l是n2阶单位阵， (1)h,≤r(B)=nu A,及A1分别为列满秩及行满秩.系统强能控 2)22p≤之d,k=r(B,w(B)-1,,2,1. 等价于B行满秩 dy为{n-j+1,…,,-j+1}中正整数的个数 在系统(9)中，可经状态反馈： [B1AB1…B])=n,+n2+…+ng, u=K:x+v (10) j=1,2,…,. 把系统(9)变为 y1=min{k|[BAB…AB]=[B,A,B,…A-B 0 4+B.K, AB,]} 0 0 B.K, x2 B2 (11) 证明：由于三p=m,因此只须考察系统(3) l严 B.K, 的正则部分，即 选K使B,K非异这时，系统(11)就没有无穷远 元1=A11+B4 (5) 极点.对它再作标准分解得 又因原系统为强能控，所以上述系统（⑤）能控， a,o) 直接利用引理即可得证. -o (12) 应该指出，此时所需的K阵可由文献[6中 其中，∈R,元=n(=q),而B,是由式(3)中的 所给的构造性方法得到. B,与尽可能多的B,中的一些行组成的矩阵，因 情况Ⅱm<2立p,(≤g). tel 此r(B)≥rB)对所给的特征结构{，h,P},如 这时，由于ΣP比原系统的正则系统的阶 果空p,<q时，可扩充认，hp,},使上述等号成 =l】 数大，因此必须对原系统进行状态反馈： 立这时，设 u=Kox+uo (6) r([B1,AB,…,B]）=+…+i,k=1,2,… 得 E=(A+BKo)x+Buo (7) v=min{klr(8AB…aE])= 使该系统的正则部分的阶数等于所配置的极点 r{[B,a8…a,馆，A8]. 数三三P对系统(T,存在非异的P,2,使其rs. 则有定理2. 定理2系统(12)能配置特征结构{亿，h,P} e.于标准分解： (A 01 (B (8) (=9)的充分必要条件为： (1)h,≤n,; 其中，x,∈R,而m=ΣP:N为幂零阵.这样问题 2)p,s2a, k=a,,-1,…,2,1. 就化成情形I,能否配置特征结构{亿，h,P}的 这里：a是{n-jtl,…,i} 中正整数个数： 问题可由系统(8)的正则部分(A1,B,)决定 pu=0,l=h,+1,,i. 但是，当m<q时，在K。的选择上方法有多 当条件满足时，所需的 种，这里的要求是使用奇异系统（⑦）在标准分解 v=K (13) 后的系统(8)中，B,的秩r(B,)最大. 中的，仍可由文献[6]的构造性方法得到. 事实上，B,是由系统(3)中的B,加上B,中的 需要指出，对于讨论的情形I,由于 一些行组成的，若记B,中的这些行为B,则B, (B)≤B),当对所给特征结构不能配置时，也 可表示为B- 显然r⑧)≥r(B).为使 B 可扩充{，h,P}后，用系统(12)进行讨论，后者 的优势在于n:最大，从而可以允许h的较大者 r⑧)达到最大，可以用把所有原系统的无穷远 也满足定理的条件 极点都变成有穷远极点这一方法来获得这时，七 王淑珍 线形奇异系统的特征结构配置 一 情 况 艺艺乃 才 ‘ 卜 介 为讨 论 方 便 ， 设 艺勒 。 ， 若 不 等 ， 可 增添 我 们 用 文 献 」的模型 来讨 论 对 一 为 正 则 束 的广 义 系统 ， 还 可 于 、 乙。 此护卜林城 、 伟尸卜阵伍 几 若 干 个 与 己 有 的 又 ， 不 同 的 实 数 儿 及 对 应 的 二 扒 ， ，使等 式 成 立 ， 这 时 有 定 理 定理 系 统 能经状 态 反 馈 二 凡 配置特征 结构 执 ， 凡 ， 几 的充分 条件 为 ， 元 ， 一 因 一 ， 大是 几 “ 蓦五“ ‘ 三祷 ， “ 一 ， 一 ‘ ，‘ ’ ‘ ， ， 阶单位 阵 ， 系统 强 能控 禹为 一 ，… ， ” 一 中正 整 数 的个 数 ， ， … 才 ， 〕 ， … 。 ， ，二 扭 ， ， ，二 ’ ， · ， 及 凡 分 别 为列满 秩 及 行 满 秩 等 价 于 行满 秩 在 系统 中 ， 可 经 状态 反 馈 。 一 元又 ， ， 把 系 统 变 为 … 亨 一 〕 二 〔 ， … 布 一 ’ ， 万 证 明 由于艺勒 。 ， ， 因此只须考察系统 扮 产 的 正 则部分 ， 即 戈 ， ， ， 又 因原系统为强 能控 ， 所 以上 述系统 能控 ， 直接利用 引理 即可得证 应该指出 ， 此 时所需的 阵可 由文 献 〔 中 所给 的构造性方法得 到 氏 情况 ， 勒 。 ‘ 扣 户 气 这 时 ， 由于 蓦知 比原系统 的 正 则 系统 的 阶 雾 · …… 儿 汤 留 一 阮匕尸以 一 ︸陇﹄尸加 选 凡 使 凡 非异 这 时 ， 系统 就没 有无 穷远 极 点 对 它 再 作标准 分解 得 阵 一 户 行 云 。 。 、 乙 城 队 其 中 ， 免任 护 ， 分一 滋卜 妇 ， 而 方 ， 是 由式 中的 与尽可 能 多 的 中的一 些行 组 成 的矩 阵 ， 因 此 访 ， 二 俩 对 所给 的特征 结构 扭 ‘ ， 八 ，几 ， 如 果 艺勒 。 时 ， 可 扩 充 扭 ，， 戍 ，几 ， 使上述 等 号 成 数大 ， 因此必 须对原系统进行状 态 反馈 。 得 戈 立 这 时 ， 设 亩 ， 方 ，宕 ， ，… 分 一 成」一 完 ，，十 完 ， ， ，… 节 】 毗宕 ，戈】 戈 ‘ 一 ’亥〕 … 公 一 ’宕 云 、 、‘、了了 气了 产、、 、 则 有 定理 理 系统 能 配 置特 征 结 构 扭 ‘ ， 气 ， 几 二 的充 分 必 要 条件 为 ， ‘ 孙定 使该 系统 的正 则部分 的阶数等于 所配置 的极 点 数 艺勒 。 对 系统 ，存在 非异 的 ， 。 ， 使其 户 于 标准分解 嵘笔 一 民 ’ 赎 · 嘻卜 ‘ 艺‘二 其 中 ， 兄 任 严 ， 而万，二 艺勒 。 万为幂零 阵 这样 问题 扮 户 就化成情 形 ， 能否 配 置 特征结构 林 ，， 八 ， 几 的 问题 可 由系统 的正 则部分区刃 ， 决定 但 是 ， 当万， 时 ， 在 的选 择 上 方法有 多 种 ， 这 里 的要求 是 使用 奇异 系统 在 标 准 分 解 后 的系统 中 ， 万 的秩 万 ， 最 大 事实上 ， 亘 是 由系统 中的 加 上 中 的 一 些行组 成 的 ， 若记 中的这 些 行 为 瓦 ， ， 则 亘 ， 、 可 表 示 为 万 二 ’ ， 显 然 历 之 凡 为使 以 伍 达 到最 大 ， 可 以用把所有原系统 的无 穷远 极 点都 变成 有穷远 极 点这 一 方法 来获得 这 时 ， 全斗 。 全戈 ， 、 一 氛 ， 丸 ，一 ， … ， ， 扮 厂 户止 这 里 急是 丸 。 一 ，… ，虱 中 正 整 数 个 数 “ ， 一 ， ，… ， 分二 当条件 满足 时 ， 所 需 的 一 戈 ， 兔 中 的 龙 仍 可 由文 献 的构造 性 方 法 得 到 需 要 指 出 ， 对 于 讨 论 的 情 形 ， 由 于 民 、 访 ， ， 当对 所给 特征 结构 不 能 配 置 时 ， 也 可 扩 充 位 ‘ ， 气 ， 几 后 ， 用 系统 进行 讨 论 ， 后 者 的优势在于完 ， 最 大 ， 从而 可 以允许 ， 的较大 者 也满足 定理 的条 件