教学内容 三重积分的定义 设f(x,y,=)是空间有界闭区域Ω上的有界函数,将闭区域Ω任意分成n个小闭 区域△1,△V2…,△vn,其中△v表示第i个小闭区域,也表示它的体积,在每 个Av2上任取一点(5,n,)作乘积f(5,n,)△v,(=1,2,…,n),并作和,如 果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极 限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记为f(x,y,z)dh 即(xy)=m2/(5,n1A 其中d叫做体积元素 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分9 则△v=△ Ay A 三重积记为f(x,yd=m∑/(,n5,A 其中ddz叫做直角坐标系中的体积元素 三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 如图,闭区域Ω在xoy面上的投影为闭区域D, (x,y) 2":-1 1(3,y) =y2(x) S1:z==1(x,y), S2:z==2(x,y) 过点(x,y)∈D作直线 22 教 学 内 容 一、三重积分的定义 设 f (x, y,z) 是空间有界闭区域  上的有界函数，将闭区域  任意分成 n 个小闭 区域 1 v ， 2 v , , n v ，其中 i v 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 i v 上任取一点 ( , , ) i i  i 作乘积 i i i i f ( , , )v ，(i =1,2,  ,n) ，并作和, 如 果当各小闭区域的直径中的最大值  趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极 限为函数 f (x, y,z) 在闭区域  上的三重积分，记为   f (x, y,z)dv , 即   f (x, y,z)dv i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其中dv叫做体积元素. 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分, . i j k l 则 v = x y z 三重积记为   f (x, y,z)dxdydz i i i n i i =  f v = → lim ( , , ) 1 0     . 其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素. 二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 闭区域在 xoy面上的投影为闭区域 D, g : ( , ), : ( , ), 2 2 1 1 S z z x y S z z x y = = 过点(x, y)D作直线, x y z o  D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) 1 y = y x ( ) 2 (x, y) y = y x