17.设a是线性空间V上的线性变换,而∈V,设,a(),…,ak-1()都不等于零,但ak()=0.证明 6,a(5),…,ak-1(5)线性无关.(2012年北京科技大学) 18.设3维线性空间V上线性变换a/在基E1,e2,E3下的矩阵A 2,记L(V)为V上线性变换全体, C(4a)={8=,团∈L(V)} (1)证明:C(a)是L()的子空间 (2)求C(a)的一组基和维数.(2015年大连理工大学) 19.设d,团分别是n维线性空间v上的线性变换,且a+=Idv,且r(a)+r()=n,证明 (1)V=J(V)e(V) (2)9=9=0;12=m,2=涕.(2015年大连理工大学) 20.设σ是n维向量空间v上的一个线性幂等变换,即a2=a,试证 (1)o的特征值只能是0和1; (2)a+E为V上可逆线性变换,其中ε是V上的单位变换.(2009年湖南大学) 21.设V是数域P上的n维线性空间,是V的线性变换,如果存在V中的一组基,使得在这组基下的矩 阵为若当块矩阵 10.00 证明:(1)存在向量e∈V,使得n-1e≠0,但a/"E=0; (2)V中包含向量c的-子空间(即 mathscrA的不变子空间)只有线性空间V自身 (3)V中的任一非零a-子空间都包含m-1e; (4)V不能分解为两个非平凡x-子空间的直和(2013年湖南大学) 22.设是n维线性空间v的线性变换,请给出简略说明一定存在正整数m,使得: (2010年湖南师范大学 23.设是n维线性空间V的线性变换且少n-1≠0,n=0,证明:存在V的基a1,a2,…,an,使得少在这 组基下的矩阵为 (2010年湖南师范大学) E1 O17. A ¥Ç5òmV ˛Ç5CÜ, ξ ∈ V , ξ, A (ξ), · · · , A k−1 (ξ)—ÿu", A k (ξ) = 0. y²: ξ, A (ξ), · · · , A k−1 (ξ)Ç5Ã'. (2012 cÆâEåÆ) 18. 3ëÇ5òmV ˛Ç5CÜA 3ƒε1, ε2, ε3e› A =   1 2 3  , PL(V )èV ˛Ç5CÜN, C(A ) = {B|A B = BA , B ∈ L(V )}. (1)y²: C(A )¥L(V )fòm; (2)¶C(A )ò|ƒ⁄ëÍ. (2015cåÎnÛåÆ) 19. A , B©O¥nëÇ5òmV ˛Ç5CÜ, ÖA + B = IdV , Ör(A ) + r(B) = n, y²: (1)V = A (V ) ⊕ B(V ); (2)A B = BA = 0; A 2 = A , B2 = B. (2015 cåÎnÛåÆ) 20. σ¥nëï˛òmV ˛òáÇ5òCÜ, =σ 2 = σ, £y: (1)σAäêU¥0⁄1; (2)σ + εèV ˛å_Ç5CÜ, Ÿ•ε¥V ˛¸†CÜ. (2009cHåÆ) 21. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V Ç5CÜ, XJ3V •ò|ƒ, ¶A 3˘|ƒe› èe¨›   0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 0   y²: (1)3ï˛ε ∈ V , ¶A n−1 ε 6= 0, A nε = 0; (2)V •ù¹ï˛εA −fòm(=mathscrAÿCfòm)êkÇ5òmV g; (3)V •?òö"A −fòm—ù¹A n−1 ε; (4)V ÿU©)è¸áö²ÖA −fòmÜ⁄. (2013 cHåÆ) 22. A ¥nëÇ5òmV Ç5CÜ, ûâ—{—`²ò½3Ím, ¶: A 2mV = A mV (2010cHìâåÆ) 23. T ¥nëÇ5òmV Ç5CÜÖT n−1 6= 0, T n = 0, y²: 3V ƒα1, α2, · · · , αn, ¶T 3˘ |ƒe› è A = O O En−1 O ! . (2010cHìâåÆ) 11 厦门大学《高等代数》