(3)若V有一个线性变换满足n=0,m-1≠0,则存在V的一组基,使得∞在这组基下的矩阵 与(1)中得到的矩阵相同 (4)R上的n阶方阵M,N满足M=Nn=0.,Mn-1≠0,Nn-1≠0,证明M与N相似.(2015年北京工 业大学 9.设σ是数域P上n维线性空间v上的线性变换.证明 (1)存在正整数k,使得对所有的>k都有ker(o4)=ker(ok); (2)r(a)=r(a2)的充要条件是v=a(V)kero.(2018年北京工业大学) 10.在线性空间V中,有线性变换o,r,U.且vr-TU=a.证明: (2)存在正整数m,使得am=0.(2019年北京工业大学) 11.设T是n维线性空间V的线性变换,证明:的秩+T的零度=n.(2010年北京交通大学) 12.设T是实向量空间v上的线性变换,且满足T2=I,这里表示v上的恒等变换.定义两个子空间如下 V1={v∈V:T(v)=t};V={∈V:T(v)=-n}, 证明:V=V⊕V2,这里由表示直和.(2014北京交通大学) 13.设线性变换a与τ满足a2=,r2=T,证明:a与r有相同的核的充分必要条件是ar=o,r= (2016年北京交通大学 14.设a是n维线性空间上的线性变换,求证 dimImo2= dimM.d 的充要条件是V=VV2.(2009年北京科技大学) 15.设线性空间V的线性变换满足2=a,称之为幂等变换,证明: (1)V中向量B属于a的象集Ima当且仅当a(B)=B (2)V=Ima⊕且V的任一向量的直和分解为a=a(a)+(a-a(a) (3)对任一直和分解V=V⊕V,存在唯一的幂等变换a,使得v1=Ims,V=ker (4)每个幂等变换都有方阵表示/E0 (2010年北京科技大学 00 6.设线性空间V=W1⊕W2⊕…⊕W证明:存在v的线性变换函1,a,…,.使得 (3)x+函+…+=I为恒等变换 (4)Im函=W,1≤i≤s.(2011年北京科技大学)(3)eV kòáÇ5CÜB˜vBn = 0, Bn−1 6= 0, K3V ò|ƒ, ¶B3˘|ƒe› Ü(1)•› É”; (4)R˛nê M, N˜vMn = Nn = 0, Mn−1 6= 0, Nn−1 6= 0, y²MÜNÉq. (2015 cÆÛ íåÆ) 9. σ¥ÍçP˛nëÇ5òmV ˛Ç5CÜ. y²: (1)3Ík, ¶ȧkl > k—kker(σ l ) = ker(σ k ); (2)r(σ) = r(σ 2 )øá^á¥V = σ(V ) ⊕ kerσ. (2018cÆÛíåÆ) 10. 3Ç5òmV •, kÇ5CÜσ, τ, υ. Öυτ − τ υ = σ. y²: (1)υτ k − τ kυ = kτ k−1σ. (2)3Ím, ¶σ m = 0. (2019cÆÛíåÆ) 11. T¥nëÇ5òmV Ç5CÜ, y²: Tù+T"›= n. (2010cÆœåÆ) 12. T¥¢ï˛òmV ˛Ç5CÜ, Ö˜vT 2 = I, ˘pIL´V ˛ðCÜ. ½¬¸áfòmXe: V1 = {v ∈ V : T(v) = v}; V2 = {v ∈ V : T(v) = −v}, y²: V = V1 ⊕ V2, ˘p⊕L´Ü⁄. (2014cÆœåÆ) 13. Ç5CÜσÜτ˜vσ 2 = σ, τ 2 = τ , y²: σÜτkÉ”ÿø©7á^á¥στ = σ, τσ = τ . (2016cÆœåÆ) 14. A ¥nëÇ5òm˛Ç5CÜ, ¶y: dimImA 2 = dimImA øá^á¥V = V1 ⊕ V2. (2009cÆâEåÆ) 15. Ç5òmV Ç5CÜA ˜vA 2 = A , °ÉèòCÜ, y²: (1)V •ï˛β·uA ñ8ImA Ö=A (β) = β. (2)V = ImA ⊕ A ÖV ?òï˛Ü⁄©)èα = A (α) + (α − A (α)). (3)È?òÜ⁄©)V = V1 ⊕ V0, 3çòòCÜA , ¶V1 = ImA , V0 = kerA . (4)záòCÜ—kê L´ E 0 0 0 ! . (2010cÆâEåÆ) 16. Ç5òmV = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Ws. y²: 3V Ç5CÜA1, A2, · · · , As. ¶ (1)A 2 i = Ai , 1 ≤ i ≤ s; (2)AiAj = 0, i 6= j; (3)A1 + A2 + · · · + As = I èðCÜ; (4)ImAi = Wi , 1 ≤ i ≤ s. (2011cÆâEåÆ) 10 厦门大学《高等代数》