2.设V是n维线性空间,a为一线性变换且的最小多项式次数为n (1)证明存在向量a使得a,fa,…,an-la是V的一组基 (2)任意与a/可交换的线性变换可表为a的多项式.(2014年北京大学) 3.设Ⅴ是有限维线性空间,A,B是V上线性变换满足下面条件 (1)AB=O,这里O是0变换; (2)A的任意不变子空间也是B的不变子空间 (3)A5+A4+A3+A2+A=O,证明:BA=O.(2016年北京大学) 4.设V是复数域上有限维线性空间,A是V上的线性变换,A在一组基下矩阵为F (1)若A可对角化,则对任意A的不变子空间U,存在U的一个补空间W是A的不变子空间 (2)若对任意A的不变子空间U,存在U的一个补空间W是A的不变子空间,证明F可对角化.(2016年 北京大学) 5.F为数域,V是F上n维线性空间.A是V上线性变换证明存在唯一可对角化线性变换A1,幂零线性变 换A2使得A=A1+A2,A1A2=A2A1.(2017年北京大学 6.设A是2阶实矩阵,若存在正整数k,使得A=0,则称A是幂零矩阵;V是全体2阶实矩阵组成的R-线 性空间,E;表示(,j)(,j=1,2)位置元素为1,其余位置上为0的2阶矩阵.定义映射a (X)=AX-XA,X∈V (1)证明:{E1,E12,E21,E2}是V的一组基,是线性空间v上的线性变换 (2)若A/12 求在基{E1,E12E21,E2}下的矩阵; (3)对于任意2阶矩阵A,求在基{E1,E12,E21,E2}下的矩阵 (4)若A是幂零矩阵,证明a在基{E1,E12,E21,E2}下的矩阵也是幂零的.(2013年北京工业大学) 7.设V是数域P上的n维线性空间,a是V上的线性变换,a/(a1)=2a1,I为V上的恒等变换,向量组a1,a2,…,an满 足(x-2Da (1)证明:a1,a2,…,an为V的一组基 (2)求在a1,a2,…,an下的矩阵.(2014年北京工业大学) 8.设V是实数域R上的n维线性空间,a1,a2,…,an是V的一组基,于是由 定义了V的一个线性变换a.回答下列问题 (1)试求在a1,a2,…,an下的矩阵; (2)证明:n=0,n-≠02. V ¥nëÇ5òm, A èòÇ5CÜÖA Åıë™gÍèn. (1)y²3ï˛α¶α, A α, · · · , A n−1α¥V ò|ƒ; (2)?øÜA åÜÇ5CÜåLèA ıë™. (2014cÆåÆ) 3. V ¥kÅëÇ5òm, A, B¥V ˛Ç5Cܘve°^á: (1)AB = O, ˘pO¥0CÜ; (2)A?øÿCfòmè¥BÿCfòm; (3)A5 + A4 + A3 + A2 + A = O, y²: BA = O. (2016cÆåÆ) 4. V ¥EÍç˛kÅëÇ5òm, A¥V ˛Ç5CÜ, A3ò|ƒe› èF. (1)eAåÈz, KÈ?øAÿCfòmU, 3Uòá÷òmW ¥A ÿCfòm. (2)eÈ?øAÿCfòmU, 3Uòá÷òmW¥AÿCfòm, y²FåÈz. (2016c ÆåÆ) 5. FèÍç, V ¥F˛nëÇ5òm. A¥V ˛Ç5CÜ. y²3çòåÈzÇ5CÜA1, ò"Ç5C ÜA2¶A = A1 + A2, A1A2 = A2A1. (2017cÆåÆ) 6. A¥2¢› , e3Ík, ¶Ak = 0, K°A¥ò"› ; V ¥N2¢› |§R−Ç 5òm, EijL´(i, j)(i, j = 1, 2)†òÉè1, Ÿ{†ò˛è02› . ½¬NA : A (X) = AX − XA, X ∈ V (1)y²: {E11, E12, E21, E22}¥V ò|ƒ, A ¥Ç5òmV ˛Ç5CÜ; (2)eA 1 2 0 1 ! , ¶A 3ƒ{E11, E12, E21, E22} e› ; (3)Èu?ø2› A, ¶A 3ƒ{E11, E12, E21, E22}e› ; (4)eA¥ò"› , y²A 3ƒ{E11, E12, E21, E22} e› è¥ò". (2013 cÆÛíåÆ) 7. V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, A ¥V ˛Ç5CÜ, A (α1) = 2α1, IèV ˛ðCÜ, ï˛|α1, α2, · · · , αn˜ v(A − 2I)αi+1 = αi(1, 2, · · · , n − 1). (1)y²: α1, α2, · · · , αnèV ò|ƒ; (2)¶A 3α1, α2, · · · , αne› . (2014cÆÛíåÆ) 8. V ¥¢ÍçR˛nëÇ5òm, α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ, u¥d A (αi) = αi+1(i = 1, 2, · · · , n), A (αn) = 0 ½¬ V òáÇ5CÜA . £âeØK: (1)£¶A 3α1, α2, · · · , αne› ; (2)y²: A n = 0, A n−1 6= 0; 9 厦门大学《高等代数》