当 时，A与B是相似的，当 时，A与B是合同的。（写出P、Q所满足 的条件) 17.设向量a,=1和a2=0都是矩阵A对应特征值入=2的特征向量，且向量B=a,-2a2 (0 则向量AB= k10） 18设4-60k*2 正定，则k应满足条件 19.设A,的特征值为L,2,-3,方阵B=A?-2A+3E,则B的特征值是 20.二次型fx,x,x)=x+x+5x+2m,x-2x,x+4x,x是正定二次型，则a的取值范围 是 21.向量-1,0,1]'，B=[1,√2,1]的夹角是 22.若二次型的正惯性指数为k,负惯性指数为1，则该二次型的秩是 23.已知3阶矩阵A的特征值为1,2，-1,4-54+7A是 24.与任意向量都正交的向量是 25.向量a=11,0,0]的长度为 四、解答题 26.化二次型fk,x2,x,)=x2+2x+2xx-2x2x,为标准形，并写出所用变换的矩阵。 「1-117 答案：∫=-片+片，所用变换的矩阵为010 01-1 -2001 -1001 (1)求a和b: (2)求可逆矩阵P,使P-AP=B. 答案：(1)由题设知B的3个特征值为-l,2,b,而A与B相似，所以A的特征值也为-l2,b 于是-2+a+1=-1+2+b,即b=a-2(*) 但E-A=(+2)[2-(a+1)1+(a-2】,将=-1代入有 0=E-A=(-1+2)[1+(a+l)+(a-2小，解得a=0,代入(*)得b=-2: (2)由上知 (-200(-100】 A- ,且A的特征值为-1,2，-2，可求出相应的特征向量 (00-2月 当___________时，A 与 B 是相似的，当___________时，A 与 B 是合同的。（写出 P、Q 所满足 的条件） 17. 设向量 和 都是矩阵            0 1 1 1            1 0 1  2 21 A 对应特征值  2的特征向量，且向量    2 ， 则向量 A  .       18. 设 0  正定，则 k 应满足条件        200 11 01 k k A . 19．设 的特征值为 A 33  3,2,1 , 方阵 EAAB 2    32 ，则 B 的特征值是           . 20．二次型   21 31 32 2 3 2 2 2 ,,  1321     4225 xxxxxaxxxxxxxf 是正定二次型，则a的取值范围 是           ． T T 21．向量  [ ，，   ]1,2,1[,]101 的夹角是         . 22．若二次型的正惯性指数为 k，负惯性指数为 l，则该二次型的秩是         ． 23．已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,‐1， 75 AAA3 2  是＿_ _＿． 24. 与任意向量都正交的向量是_____. 25. 向量 的长度为           T   ，，， ]0011[ . 四、解答题 26．化二次型   31 32 2 3 2 ,, 1321   222 xxxxxxxxxf 为标准形，并写出所用变换的矩阵． 222 1 23  yyy ，所用变换的矩阵为 1 11 01 0 01 1             答案： f . 27．设矩阵 与 相似．          113 22 002 aA          b B 00 020 001 （1）求 a 和 b； （2）求可逆矩阵 P，使 ．  BAPP1 答案：（1）由题设知B 的 3 个特征值为1, 2, b ,而 A 与 相似，所以 B A 的特征值也为1, 2, b ， 于是     2 11 a b 2  ，即 （*） b a   2 但 2    EA a a     ( 2)[ ( 1) ( 2)]，将  1代入有 0 (1         EA a a +21 ( 1 ） ) ( 2)，解得a  0，代入（*）得b  2； (2)由上知 200 2 02 3 11 A             ， ，且 10 0 020 00 2 B              A 的特征值为1, 2, 2  ，可求出相应的特征向量