·508· 智能系统学报 第15卷 分解定理进行了研究。 1)首先生成以En,为期望、He,为标准差的随 1云集合及其组成元素 机数E 2)令“，函=心号为云集合元素的随机隶 1.1云集合 属度。 定义1云集合。设U是一论域，U中的部 因为在1)中生成的随机数有多种可能的值， 分元素组成的集合称为U的子集合，若子集合 所以2)中（是有多种可能值的随机数。图1 4=优…，是其元素的隶属度基于云模型 为正态云集合中元素55的随机隶属度图形，其中 CEx,En,He)表示的集合，则称其为云集合，的 对应正态云模型的期望、熵和超嫡分别为50、 隶属度函数记作“(，当C为正态云模型时，称 8和1。 其为正态云集合。其中Ex、En和He分别为云模 0.90 型CEx,En,He)的期望、熵和超熵，论域U称为云 全集。 0.85 1.2云集合与模糊集的关系 云集合和模糊集的关系：一个云集合对应多 个模糊集，理论上对应无限个模糊集，因此云集 0.75 合是一个无限集合；同时由于元素隶属度的随机 性，云集合可看作包含多个模糊集的随机集合， 0.70 0 20 40 60 80100 所以云集合又是一个随机隶属度集合。模糊集可 区间 以看作是云集合的一次具体实现。云集合与模糊 图1具有随机隶属度的云集合元素 集之间的转化关系：设A为正态云模型CEx,En, Fig.1 Element of cloud set with random subjection degree He)表示的云集合，则其基于隶属度的云集合表 2云集合的基础运算方法 示为 4={,=e等B=Nor(Em.H) 2.1云集合元素的I运算和P运算 2.1.1云集合元素的1运算 式中：j=1,2,…,m;Nor(E,He)是正态随机数生成 【运算是求随机隶属度取值区间的运算，即 函数，其表示生成以E为均值，He为标准差的正 求云集合元素x的随机隶属度W(份的取值区间， 态随机数；（表示隶属度。 记为Iu)。对于正态云集合，集合元素无的1 对集合内的所有x∈A,当Er,每一次随机取 运算的方法为 值后，所产生的集合称为云集合的一次实现，其 ,)=高，e YXE .(1) 集合表示为 4={国=e器 式(1)主要依据正态分布的3o原则（拉依达 式中Cer(Er)表示En的一次取值实现，此时A即 准则)，设在正态分布中σ代表标准差，4代表均 为模糊集。 值，3σ原则指出元素数值分布：有99.73%的概率 1.3云集合的组成元素 落在μ-3，μ+3)界限范围内9。元素取值几乎 全部集中在（μ-3σ，μ+3σ）区间内，因此近似认为 定义2云集合元素。云集合元素定义为云 集合中具有随机隶属度的数（元素）。当x为云集 数值分布在此区间的概率为1。据此由式(1)得 合中一个组成元素，记作，与模糊集合不同的 到以He,为标准差，En为期望的随机数En的区 是，4（不是[0,1]区间确定的数值，而是[0,1]区 间(Er计算的隶属度随机数“（的区间）为 间的随机数。在隶属度基于云模型C,Ex,E,He) I(En)=[En-3He,En+3He] 的正态云集合中，参照云模型的隶属度生成方法四， 2.1.2云集合元素的P运算 正态云集合元素x的随机数隶属度4(G的计算 P运算是计算一个取值区间大于另一个取值 步骤如下： 区间的可能性的运算，记作P山≥2)。A和B是分解定理进行了研究。 1 云集合及其组成元素 1.1 云集合 U U U A ℘ = { ℘ x1, ℘ x2,··· , ℘ xn} ℘ x C(Ex,En,He) ℘ x uA ℘ ( ℘ x) C Ex En He C(Ex,En,He) U 定义 1 云集合。设 是一论域， 中的部 分元素组成的集合称为 的子集合，若子集合 是其元素 的隶属度基于云模型 表示的集合，则称其为云集合， 的 隶属度函数记作 ，当 为正态云模型时，称 其为正态云集合。其中 、 和 分别为云模 型 的期望、熵和超熵，论域 称为云 全集。 1.2 云集合与模糊集的关系 A ℘ C(Ex,En, He) 云集合和模糊集的关系：一个云集合对应多 个模糊集，理论上对应无限个模糊集，因此云集 合是一个无限集合；同时由于元素隶属度的随机 性，云集合可看作包含多个模糊集的随机集合， 所以云集合又是一个随机隶属度集合。模糊集可 以看作是云集合的一次具体实现。云集合与模糊 集之间的转化关系：设 为正态云模型 表示的云集合，则其基于隶属度的云集合表 示为 A ℘ = { ℘ x      uA ℘ ( ℘ x) = e − ( ℘ x −Ex) 2 2En ′ j 2 ,En ′ j = Nor(En,He) } j = 1,2,··· ,m Nor(En,He) En He uA ℘ ( ℘ x) 式中： ； 是正态随机数生成 函数，其表示生成以 为均值， 为标准差的正 态随机数； 表示隶属度。 ℘ x ∈ A ℘ En ′ 对集合内的所有 ，当 j 每一次随机取 值后，所产生的集合称为云集合的一次实现，其 集合表示为 A ∼ = { ∼ x    uA ∼ ( ∼ x) = e − ( ∼ x −Ex) 2 2(Cer(En ′ j ))2 } Cer(En ′ j ) En ′ j A ∼ 式中 表示 的一次取值实现，此时 即 为模糊集。 1.3 云集合的组成元素 x ℘ x uA ℘ ( ℘ x) Cj ( Exj ,Enj ,Hej ) ℘ x uA ℘ ( ℘ x) 定义 2 云集合元素。云集合元素定义为云 集合中具有随机隶属度的数 (元素)。当 为云集 合中一个组成元素，记作 ，与模糊集合不同的 是， 不是 [0,1] 区间确定的数值，而是 [0,1] 区 间的随机数。在隶属度基于云模型 的正态云集合中，参照云模型的隶属度生成方法[1] ， 正态云集合元素 的随机数隶属度 的计算 步骤如下： Enj Hej En ′ j 1) 首先生成以 为期望、 为标准差的随 机数 ； uA ℘ ( ℘ x) = e − ( ℘ x −Ex) 2 2En ′ j 2 ℘ 2) 令 为云集合元素 x 的随机隶 属度。 uA ℘ ( ℘ x) 因为在 1) 中生成的随机数有多种可能的值， 所以 2) 中 是有多种可能值的随机数。图 1 为正态云集合中元素 55 的随机隶属度图形，其中 对应正态云模型的期望、熵和超熵分别为 50、 8 和 1。 0 40 60 80 20 100 区间 隶属度 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 图 1 具有随机隶属度的云集合元素 Fig. 1 Element of cloud set with random subjection degree 2 云集合的基础运算方法 2.1 云集合元素的 I 运算和 P 运算 ℘ 2.1.1 云集合元素 x 的 I 运算 I ℘ x uA ℘ ( ℘ x) I(uA ℘ ( ℘ x)) ℘ x I 运算是求随机隶属度取值区间的运算，即 求云集合元素 的随机隶属度 的取值区间， 记为 。对于正态云集合，集合元素 的 运算的方法为 I(uA ℘ ( ℘ x)) = [ e − ( ℘ x −ExA) 2 2(EnA−3HeA) 2 , e − ( ℘ x −ExA) 2 2(EnA+3HeA) 2 ] , ∀ ℘ x ∈ A ℘ (1) 3σ σ µ 3σ (µ−3σ, µ+3σ) (µ−3σ, µ+3σ) Hej Enj En ′ j En ′ j uA ℘ ( ℘ x) 式 (1) 主要依据正态分布的 原则 (拉依达 准则)，设在正态分布中 代表标准差， 代表均 值， 原则指出元素数值分布：有 99.73% 的概率 落在 界限范围内[19]。元素取值几乎 全部集中在 区间内，因此近似认为 数值分布在此区间的概率为 1。据此由式 (1) 得 到以 为标准差， 为期望的随机数 的区 间 ( 计算的隶属度随机数 的区间) 为 I(En ′ j ) = [En−3He,En+3He] ℘ 2.1.2 云集合元素 x 的 P 运算 P P(I1 ⩾ I2) A ℘ B ℘ 运算是计算一个取值区间大于另一个取值 区间的可能性的运算，记作 。 和 是 ·508· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷