第3期 王洪利：一种参照模糊集的云模型集合论方法研究 ·509· 论域U上的云子集，PI(ua()≥Ius(》表示区间 1.0 Iu)不小于区间1u心)的可能性，计算方法 0.8 为：设u()、us)使用区间表示为[d,a], [b,b],则 0.6 P(Ia()≥1ug(》=Pd,b]≥[d,b])= 0.4 1,d≥b 0.2 a-b b-d 的 ar-bi+2(ar-b)' b<a<b<a 20 40 60 80 100 区间 (a)完全包含关系 d=b,a'=b 1.0 a'-b 2(b-a)" d<b<a<b 0.8 a'-b'b-b a-d*2a-d)' a<b<b <a a-a 2b-b' b<d<a<b 14 0,b≥d 0.2 2.2云集合的基础运算 设A和B是论域U上的云子集，其隶属函数 20 40 60 80100 的云模型数字特征分别为CA(EXA,EnA,HeA)和 区间 (b)不完全包含关系 CaEx,EnB,HeB),U的全体云子集构成一个集合 族称为U的云幂集，记为ΠI(U)。若A,B∈Π(U),AnB, 图2完全包含与不完全包含关系 AUB,A分别表示A和B的并集、交集和A的余 Fig.2 Relations between complete and incomplete inclu- sion (补)集，则云集合的相等关系、包含关系和并集、 交集、余集运算方法分别如下。 对于Y:∈A,Y:∈B(不包括合理忽略的具有相 2.2.1相等关系 同期望的正态云集合的期望值附近点)，云集合A 云集合A和B相等的表达式为 和B的完全包含关系表示为 A=B台CaEa,EnA,He)= A3B台P,()>1us》=1台 EXA=EXB P(I(us()>IA(》=0 Cs(ExB,EnB,Hes)台 Ena EnB 对于论域内yeA,YeB,云集合A和B的 不完全包含关系表示为 He=Heg 从集合运算的角度，对于Y∈A,Y∈B,当 P(I(ua()>I(ua( A3B台 -≥1 I(a()、I(ua()区间表示为[d,d]、[,b]时，云集 PP PIus()>I(ua(》 合A和B相等的表达式为 2.2.3并集 A=B台PUu,)>1us(的》= 云集合A和B的并集表示为 "us国=(yu:(倒 d=b,d'=b 2.2.2包含关系 符号“V”表示“取大”运算，即对任意u(的C 云集合A和B的包含关系包括完全包含关 [0,1],s(份c0,1,基于云数的1运算和P运算将 系、不完全包含关系，见图2。 云集合中“取大”运算定义为U P(I(uA ℘ ( ℘ x)) ⩾ I(uB ℘ ( ℘ x))) I(uA ℘ ( ℘ x)) I(uB ℘ ( ℘ x)) I(uA ℘ ( ℘ x)) I(uB ℘ ( ℘ x)) [a l ,a r ] [b l ,b r ] 论域 上的云子集， 表示区间 不小于区间 的可能性，计算方法 为：设 、 使用区间表示为 ， ，则 P(I(uA ℘ ( ℘ x)) ⩾ I(uB ℘ ( ℘ x))) = P([a l ,b r ] ⩾ [a l ,b r ]) =    1, a l ⩾ b r a r −b r a r −b l + b r −a l 2(a r −b l ) , b l < a l < b r < a r 1 2 , a l = b l ,a r = b r a r −b l 2(b r −a l ) , a l < b l < a r < b r a r −b r a r −a l + b r −b l 2(a r −a l ) , a l < b l < b r < a r a r −a l 2(b r −b l ) , b l < a l < a r < b r 0, b l ⩾ a r 2.2 云集合的基础运算 A ℘ B ℘ U CA (ExA,EnA,HeA) CB (ExB,EnB,HeB) U U ∏(U) A ℘ ,B ℘ ∈ ∏(U) A ℘ ∩B ℘ , A ℘ ∪B ℘ ,A c ℘ A ℘ B ℘ A ℘ 设 和 是论域 上的云子集，其隶属函数 的云模型数字特征分别为 和 ， 的全体云子集构成一个集合 族，称为 的云幂集，记为 。若 ， 分别表示 和 的并集、交集和 的余 (补) 集，则云集合的相等关系、包含关系和并集、 交集、余集运算方法分别如下。 2.2.1 相等关系 A ℘ B ℘ 云集合 和 相等的表达式为 A ℘ = B ℘ ⇔ CA(ExA,EnA,HeA) = CB(ExB,EnB,HeB) ⇔    ExA = ExB EnA = EnB HeA = HeB ∀ ℘ x ∈ A,∀ ℘ x ∈ B I(uA ℘ ( ℘ x)) I(uB ℘ ( ℘ x)) [a l ,a r ] [b l ,b r ] A ℘ B ℘ 从集合运算的角度，对于 ，当 、 区间表示为 、 时，云集 合 和 相等的表达式为    A ℘ = B ℘ ⇔ P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ x))) = 1 2 a l = b l ,a r = b r 2.2.2 包含关系 A ℘ B ℘ 云集合 和 的包含关系包括完全包含关 系、不完全包含关系，见图 2。 0 20 40 60 80 100 区间 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 隶属度 (a) 完全包含关系 0 20 40 60 80 100 区间 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 隶 属 度 (b) 不完全包含关系 图 2 完全包含与不完全包含关系 Fig. 2 Relations between complete and incomplete inclu￾sion ∀ ℘ x ∈ A,∀ ℘ x ∈ B A ℘ B ℘ 对于 (不包括合理忽略的具有相 同期望的正态云集合的期望值附近点)，云集合 和 的完全包含关系表示为 A ℘ ⊃ B ℘ ⇔ P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ x))) = 1 ⇔ P(I(uB ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) = 0 ∀ ℘ x ∈ A,∀ ℘ x ∈ B A ℘ B ℘ 对于论域内 ，云集合 和 的 不完全包含关系表示为 A ℘ p ⊇B ℘ ⇔ P(I(uA ℘ ( ℘ x)) > I(uB ℘ ( ℘ x))) P(I(uB ℘ ( ℘ x)) > I(uA ℘ ( ℘ x))) ⩾ 1 2.2.3 并集 A ℘ B ℘ 云集合 和 的并集表示为 uA ℘ ∪B ℘ ( ℘ x ) = uA ℘ ( ℘ x ) ∨uB ℘ ( ℘ x ) ∨ uA ℘ ( ℘ x) ⊆ [0,1],uB ℘ ( ℘ x) ⊆ [0,1] I P 符号“ ”表示“取大”运算，即对任意 ，基于云数的 运算和 运算将 云集合中“取大”运算定义为 第 3 期 王洪利：一种参照模糊集的云模型集合论方法研究 ·509·