第1章物理学力学数学微积分初步习题解答 第1章物理学力学数学微积分初步习题解答 1.求下列函数的导数 (3) ∫层+2e- (4) [(sin x-cosx)dx (1)y=3x2-4x+10 (2)y=1/x +7sin x+8cosx-100 (5) ∫品 (6) sin(ax +b)dx (3)y=(ax+b)/a+bx)(4)y=sin+x2 ()∫e-2d (8) ∫盒 (⑤)y=en ao「xe*dx (6)y=e+100x (9)∫sn2 x cosxd 解：(1)y=6x-4 (1I)∫cos2xd 02)∫坚本 (2)y=-1/(2x/x)+7cosx-8sin x 解： (3)y=(a2-b2)a+bx)2 ()x3-3x+1)d=∫x'k-3x+∫k=x-x2+x+c (④)y=c0s1+x22.31+x2)2.2x ②∫2+x2)d=∫2*+∫r=益+x3+c =xcosv+x/+x 3∫2+2e-左)d=3+2ed-∫x (5)y'=esimx cosx =3hx+2e+2+c (6)y'=e(-1)+100=100-e (4)∫sinx-cosx)k=∫sin xdx-∫cosxdx=-cosx-sinx+c ⑤∫品=∫导=∫-∫吾=x-arctgx+c 2.已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变， h=100-0.0001x1-0005r),度量x和h的单位为米。问何处的高度将取 (6)[sin(ax+b)d=iSsird ax+b)d(ax+b)=-cos(ax+b)+c 极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ (DSedx=-ed(-2x)=-te+c 解：先求出h对x的一阶导数和二阶导数 8∫盒=∫c+b)-2dc+b)=Vm+b+c =102-10x2+5×10-7x)=2x10x3-2×10x (9∫sim2 xcosxdx=∫sin2 xd(sinx)=sim3x+c =&(2×10-x3-2×10x)=6×10x2-2×10 aSxedx=-∫ed-x)=-e+c 令d/体=0，解得在x=0,10-10处可能有极值。，dfhW体-<0，∴x=0 是极大值点，h0=100::dhr-o>0.x=10是极小值点， (11)fcosxdx=(1+cos2x)dw=x+sin 2x+c h(10)=99.0005米：显然，x=10亦是极小值点，h10=h10. (12)j严dk=∫n xd(n x)=hx)2+c 3.求下列不定积分 ()∫(x3-3x+1) (2)「(2*+x2)d第1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1 第 1章物理学力学数学 微积分初步习题解答 1．求下列函数的导数 ⑴ 3 4 10 2 y = x − x + ⑵ y =1/ x + 7sin x + 8cos x −100 ⑶ y = (ax + b)/(a + bx) ⑷ 2 y = sin 1+ x ⑸ x y e sin = ⑹ y e x x = + 100 − x x x y e e y e x x x x y x x x y a b a bx y x x x x y x − − − = − + = − = = + + = + + = − + = − + − = − ' ( 1) 100 100 ' cos cos 1 / 1 ' cos(1 ) · (1 ) ·2 ' ( )/( ) ' 1/(2 ) 7 cos 8sin ' 6 4 sin 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 1 2 2 2 ⑹ ⑸ ⑷ ⑶ ⑵ 解：⑴ 2．已知某地段地形的海拔高度 h 因水平坐标 x 而变， h=100-0.0001x2 (1-0.005x2 )，度量 x 和 h 的单位为米。问何处的高度将取 极大值和极小值，在这些地方的高度为多少？ 解：先求出h(x)对 x的一阶导数和二阶导数： 6 3 4 6 2 4 2 4 2 7 4 6 3 4 (2 10 2 10 ) 6 10 2 10 (10 10 5 10 ) 2 10 2 10 2 2 − − − − − − − − =  −  =  −  = − +  =  −  x x x x x x x dx d dx d h dx d dx dh 令 dh/dx=0，解得在x=0,10,-10处可能有极值。∵d 2 h/dx2 |x=0<0,∴x=0 是极大值点，h(0)=100；∵d 2 h/dx2 |x=10>0, ∴x=10 是极小值点， h(10)=99.0005 米；显然，x=-10亦是极小值点，h(-10)=h(10). 3．求下列不定积分   x − x + dx + x dx x ( 3 1) (2 ) ⑴ 3 ⑵ 2           − + − + + + − − xdx dx x xdx x e dx e dx dx ax b dx e dx x x dx x x x ax b x dx x x x x x x 2 l n 2 2 1 3 1 (11) cos (12) sin cos sin( ) ( 2 ) (sin cos ) 2 2 2 ⑼ ⑽ ⑺ ⑻ ⑸ ⑹ ⑶ ⑷ 解：                                 = = + = + = + + = − − = − + = = + = + + = + + = − − = − + + = + + = − + + = = − = − + − = − = − − + = + + + + − = + − + = + = + + − + = − + = − + + − − − − + − − − + + + − + − dx x d x x c xdx x dx x x c x e dx e d x e c x xdx x d x x c ax b d ax b ax b c e dx e d x e c ax b dx ax b d ax b ax b c dx dx dx x arctgx c x x dx xdx xdx x x c x e c e dx e dx x dx x dx dx x dx x c x x dx x dx xdx dx x x x c x x x x x a x b a a d x x x x a a x d x x x x x x x x x d x x x x x x x 2 2 l n 1 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 1/ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 / 2 3 3 1 l n 2 2 x 2 2 2 2 4 3 4 3 3 1 (12) ln (ln ) (ln ) (11) cos (1 cos 2 ) sin 2 ( ) sin cos sin (sin ) sin ( ) ( ) ( 2 ) sin( ) sin( ) ( ) cos( ) (sin cos ) sin cos cos sin 3ln 2 ( 2 ) 3 2 (2 ) 2 ( 3 1) 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ⑽ ⑼ ⑻ ⑺ ⑹ ⑸ ⑷ ⑶ ⑵ ⑴