直位置时的速度为多少?此时绳的张力多切向加速度为 ? (2)在0<60°的任一位置时,求小球法向加速度为 速度v与θ的关系式.这时小球的加速度为 多大?绳中的张力多大? a,=t=g(2 cos 8-D) (3)在O=60°时,小球的加速度多大? 绳的张力有多大? 由于Tc- mgcos0=man,所以张力为 [解答](1)小球 Tc=mgcos0 man=mg(3cos0-1) 在运动中受到重力和 (3)当0=60°时,切向加速度为 绳子的拉力,由于小球 沿圆弧运动,所以合力 2g=84ms2 方向沿着圆弧的切线 方向,即F=- nasIr 法向加速度为 负号表示角度θ增加的方向为正方向 小球的运动方程为 绳子的拉力 d 2s mg/2=0.49(N). F [注意]在学过机械能守恒定律之后,求 解速率更方便 其中s表示弧长.由于s=R=10,所以速 度为 2.7小石块沿一弯曲光滑轨道上由静 止滑下h高度时,它的速率多大?(要求用 牛顿第二定律积分求解) 因此 [解答]小石块在运动 中受到重力和轨道的支持 F dy de de dt l de 力,合力方向沿着曲线方 即 dv=-glsinede 向.设切线与竖直方向的h n rdv=-glho s 夹角为O,则 取积分 sIn do F=goose. 小球的运动方程为 图2.7 gl cos 8 F=ma= m 解得 g s表示弧长 =22l(ms) 由于,、ds,所以 由于 dt2 dtdtdt ds dtds 所以TB=2mg=1.96(N) (2)由(1)式积分得 因此dy= goosed h表示石下落的高度 vc=gl cos 8+C 积分得 v=gh+C 当O=60°时,vc=0,所以C=-lg/2 因此速度为 当h=0时,=0,所以C=0, vn=√gl(2cosb 因此速率为v=√2g8 直位置时的速度为多少？此时绳的张力多 大？ （2）在 θ < 60°的任一位置时，求小球 速度 v 与 θ 的关系式．这时小球的加速度为 多大？绳中的张力多大？ （3）在 θ = 60°时，小球的加速度多大？ 绳的张力有多大？ [解答]（1）小球 在运动中受到重力和 绳子的拉力，由于小球 沿圆弧运动，所以合力 方向沿着圆弧的切线 方向，即 F = -mgsinθ， 负号表示角度 θ 增加的方向为正方向． 小球的运动方程为 2 2 d d s F ma m t = = ， 其中 s 表示弧长．由于 s = Rθ = lθ，所以速 度为 d d d d s v l t t  = = ， 因此 d d d d d d d d v v m v F m m v t t l    = = = ， 即 vdv = -glsinθdθ， （1） 取积分 0 0 60 d sin d B v v v gl    = −   ， 得 0 2 60 1 cos 2 B v gl   = ， 解得 B v gl = = 2.21(m·s-1 )． 由于 2 2 B B B v v T mg m m mg R l − = = = ， 所以 TB = 2mg = 1.96(N)． （2）由（1）式积分得 1 2 cos 2 C v gl C = +  ， 当 θ = 60º 时，vC = 0，所以 C = -lg/2， 因此速度为 (2cos 1) C v gl = −  ． 切向加速度为 at = gsinθ； 法向加速度为 2 (2cos 1) C n v a g R = = −  ． 由于 TC – mgcosθ = man，所以张力为 TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60º 时，切向加速度为 3 2 t a g = = 8.49(m·s-2 )， 法向加速度为 an = 0， 绳子的拉力 T = mg/2 = 0.49(N)． [注意]在学过机械能守恒定律之后，求 解速率更方便． 2．7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静 止滑下 h 高度时，它的速率多大？（要求用 牛顿第二定律积分求解） [解答]小石块在运动 中受到重力和轨道的支持 力，合力方向沿着曲线方 向．设切线与竖直方向的 夹角为 θ，则 F = mgcosθ． 小球的运动方程为 2 2 d d s F ma m t = = ， s 表示弧长． 由于 d d s v t = ，所以 2 2 d d d d d d d ( ) d d d d d d d s s v v s v v t t t t s t s = = = = ， 因此 vdv = gcosθds = gdh， h 表示石下落的高度． 积分得 1 2 2 v gh C = + ， 当 h = 0 时，v = 0，所以 C = 0， 因此速率为 v gh = 2 ． l m θ B C O mg T h θ m N mg 图 2.7