(2)如果n≠1,可得 2.8质量为m的物体,最初静止于x0 x+c k 在力∫=-(为常数)作用下沿直线运 利用初始条件x=x0时,y=0,所以 动证明物体在x处的速度大小v=[2(1/x- l/xo)/m]12 证明]当物体在直线上运动时,根据牛 顿第二定律得方程 因此1m2=-k(-1--1 f =ma= 2k 即 利用v=dv/d,可得 (n-I)m x x o d -x dv 当n=2时,即证明了本题的结果 dt2 dt 由t 2.9一质量为m的小球以速率1从 因此方程变为 地面开始竖直向上运动.在运动过程中,小 球所受空气阻力大小与速率成正比,比例系 数为k.求: 积分得 (1)小球速率随时间的变化关系1(1) k (2)小球上升到最大高度所花的时间 利用初始条件,当x=x0时,v=0,所解答](1)小球竖直上升时受到重力和 以C=-kx0,因此 空气阻力,两者方向向下,取向上的方向为 I mkk 下,根据牛顿第二定律得方程 2k(I-1) 分离变量得 证毕 d(mg +hv) 讨论此题中,力是位置的函数:∫= f(x),利用变换可得方程:mdv=fx)x,积积分得 分即可求解 I=-In(mg+kv)+C 如果f(x)=-x,则得 当t=0时,v=1,所以 (1)当n=1时,可得 -y=-kInx+C 因此 利用初始条件x=时,”=0,所以C=m,t=-mmnm+=- mIn mg/k+ +k k mg/k+vo 因此m2=klnx 小球速率随时间的变化关系为 mg Ro p(--) m k (2)当小球运动到最高点时v=0,所9 2．8 质量为 m 的物体，最初静止于 x0， 在力 2 k f x = − (k 为常数)作用下沿直线运 动．证明物体在 x 处的速度大小 v = [2k(1/x – 1/x0)/m] 1/2． [证明]当物体在直线上运动时，根据牛 顿第二定律得方程 2 2 2 d d k x f ma m x t = − = = 利用 v = dx/dt，可得 2 2 d d d d d d d d d d x v x v v v t t t x x = = = ， 因此方程变为 2 d d k x mv v x = − ， 积分得 1 2 2 k mv C x = + ． 利用初始条件，当 x = x0 时，v = 0，所 以 C = -k/x0，因此 2 0 1 2 k k mv x x = − ， 即 0 2 1 1 ( ) k v m x x = − ． 证毕． [讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积 分即可求解． 如果 f(x) = -k/xn，则得 1 d 2 2 n x mv k x = −  ． （1）当 n = 1 时，可得 1 2 ln 2 mv k x C = − + ． 利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 C = lnx0， 因此 1 2 0 ln 2 x mv k x = ， 即 2 0 ln k x v m x = ． （2）如果 n≠1，可得 1 2 1 2 1 k n mv x C n − = − + − ． 利用初始条件 x = x0 时，v = 0，所以 1 0 1 k n C x n − = − − ， 因此 2 1 1 0 1 1 1 ( ) 2 1 n n k mv n x x − − = − − ， 即 1 1 0 2 1 1 ( ) ( 1) n n k v n m x x − − = − − ． 当 n = 2 时，即证明了本题的结果． 2．9 一质量为 m 的小球以速率 v0 从 地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小 球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系 数为 k．求： （1）小球速率随时间的变化关系 v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间 T． [解答]（1）小球竖直上升时受到重力和 空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为 下，根据牛顿第二定律得方程 d d v f mg kv m t = − − = ， 分离变量得 d d( ) d v m mg kv t m mg kv k mg kv + = − = − + + ， 积分得 ln ( ) m t mg kv C k = − + + ． 当 t = 0 时，v = v0，所以 0 ln ( ) m C mg kv k = + ， 因此 0 0 / ln ln / m mg kv m mg k v t k mg kv k mg k v + + = − = − + + ， 小球速率随时间的变化关系为 0 ( )exp( ) mg kt mg v v k m k = + − − ． （2）当小球运动到最高点时 v = 0，所