需要的时间为 N=m/R T=m mg/k+Vo ="In(l+-) 物体所受的摩擦力为 负号表示力的方向与速度的方向相反 讨论](1)如果还要求位置与时间的关 根据牛顿第二定律得 系,可用如下步骤 由于y=dv/d,所以 ∫=-4mn=m R mg)exp( dx=[+ k dv dt m(vo +mg/k) dexp kt、m 积分得 积分得 m(vo + mg /k k、mgt+C", 当t=0时,v=1,所以 k k 当t=0时,x=0,所以 C m(vo+mg /k) k 因此 因此2t n(vo+mg/k k [-exp(-一)-t (2)如果小球以m的初速度向下做直解得v=- 线运动,取向下的方向为正,则微分方程变 1+u,Vo!/R k r d(1+uvot/R) 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的 1+V/R1+v/R 变化关系为 积分得 y="-(" x=-ln(1+ Akol R 这个公式可将上面公式中的g改为-g得 出.由此可见:不论小球初速度如何,其最当t=0时,x=x0,所以C=0,因此 终速率趋于常数Vm=mgk R Akvo R 2.10如图所示:光滑的水平桌面上放 置一固定的圆环带,半径为R.一物体帖着 环带内侧运动,物体与环 带间的滑动摩擦因数为 k,设物体在某时刻经A 2.12如图所示 点时速率为1,求此后时 半径为R的金属光滑 刻物体的速率以及从A图210 圆环可绕其竖直直径转 点开始所经过的路程 动.在环上套有一珠 解答]物体做圆周运动的向心力是由圆子.今逐渐增大圆环的转 环带对物体的压力,即 动角速度,试求在不同 图21210 需要的时间为 0 0 / ln ln(1 ) / m m mg k v kv T k mg k k mg + = = + ． [讨论]（1）如果还要求位置与时间的关 系，可用如下步骤． 由于 v = dx/dt，所以 0 d [( )exp( ) ]d mg kt mg x v t k m k = + − − ， 即 0 ( / ) d d exp( ) d m v mg k kt mg x t k m k + = − − − ， 积分得 0 ( / ) exp( ) ` m v mg k kt mg x t C k m k + = − − − + ， 当 t = 0 时，x = 0，所以 0 ( / ) ` m v mg k C k + = ， 因此 0 ( / )[1 exp( )] m v mg k kt mg x t k m k + = − − − ． （2）如果小球以 v0 的初速度向下做直 线运动，取向下的方向为正，则微分方程变 为 d d v f mg kv m t = − = ， 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的 变化关系为 0 ( )exp( ) mg mg kt v v k k m = − − − ． 这个公式可将上面公式中的 g 改为-g 得 出．由此可见：不论小球初速度如何，其最 终速率趋于常数 vm = mg/k． 2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放 置一固定的圆环带，半径为 R．一物体帖着 环带内侧运动，物体与环 带间的滑动摩擦因数为 μk．设物体在某时刻经 A 点时速率为 v0，求此后时 刻 t 物体的速率以及从 A 点开始所经过的路程． [解答]物体做圆周运动的向心力是由圆 环带对物体的压力，即 N = mv2 /R． 物体所受的摩擦力为 f = -μkN， 负号表示力的方向与速度的方向相反． 根据牛顿第二定律得 2 d d k v v f m m R t = − =  ， 即 2 d d k v t R v  = − ． 积分得 k 1 t C R v  = + ． 当 t = 0 时，v = v0，所以 0 1 C v = − ， 因此 0 k 1 1 t R v v  = − ． 解得 0 0 1 / k v v  v t R = + ． 由于 0 0 0 0 d d(1 / ) d 1 / 1 / k k k k v t v t R R x v t R v t R     + = = + + ， 积分得 0 ln (1 ) ` k k R v t x C R   = + + ， 当 t = 0 时，x = x0，所以 C = 0，因此 0 ln (1 ) k k R v t x R   = + ． *2．11 2．12 如图所示， 一半径为 R 的金属光滑 圆环可绕其竖直直径转 动 ． 在 环 上套 有 一 珠 子．今逐渐增大圆环的转 动角速度 ω，试求在不同 A R v0 图 2.10 m R ω θ r mg 图 2.12