(1)若x<1x≥0y≥0,有>00≤a≤ 于是0≤a+B<2,这样ac如nx+ arctan=0dmma+)>0 0≤B<z,有0≤a+ 因为t 同理讨论下列情况:(2)xy<1,x≤0,y≤0(3)xy<1,x≥0,y≤0.(4)xy<1,x≤0,y≥0. 7、(1)若A,B中有一集合无上界,不妨设A无上界,则S也是无上界数集,于是 supA=+∞,supS=+∞,结论成立。若A,B都是有上界数集,且supB≤supA,现设法证 up s=sup A (i)wx∈S,无论x∈A或x∈B,有x≤supA (i) ,于是x xo >sup A 同理可证(2) 第二章测试题 (A) 3、提示设S ,则有a=S ++n S1+2(S2-S1)+…+m(Sn-Sn) (S1+S2+…+Sn1) 然后可证m=(a1+2a2+…+nan)=0 4、提示用数学归纳法证:Ⅶn,1<an1<an,应用单调有界定理,可证lman=1 5、(1)错误使用四则运算法则 (2)利用极限保不等式性证明。 6、由man=AvE>03NkxN时,{-4<,因为1Cn+C2+…+C=2,于是 n an A)+C(a,-A k-4+（1）若 xy 1, x  0, y  0 ，有 , 2 0.0 1    − +  xy x y 2 0     ，有 0  +   ，因为 tan( + )  0, 于是 2 0   +   ，这样 . 1 arctan arctan arctan xy x y x y − + + = 同理讨论下列情况：（2） xy 1, x  0, y  0; （3） xy 1, x  0, y  0; （4） xy 1, x  0, y  0. 7、（1）若 A，B 中有一集合无上界，不妨设 A 无上界，则 S 也是无上界数集，于是 sup A = +,sup S = + ，结论成立。若 A，B 都是有上界数集，且 sup B  sup A ，现设法证明 sup S = sup A: （ⅰ） xS ，无论 x A 或 x B ，有 x  sup A; （ⅱ） 0, , sup , 0 0   x  A x  A− 于是 , x0 S sup . x0  A 同理可证（2）。 第二章测试题 （A） 2、0． 3、提示 设 Si = a1 + a2 +ai ，则有 , ai = Si − Si−1 a1 + 2a2 ++ nan 2( ) ( ) = S1 + S2 − S1 ++ n Sn − Sn−1 ( ), = nSn − S1 + S2 ++ Sn−1 然后可证 ( 2 ) 0. 1 lim 1 + 2 + + = → n n a a na n  4、提示 用数学归纳法证： n 1 an 1  an ,  + ，应用单调有界定理，可证 lim =1. → n n a 5、（1）错误使用四则运算法则。 （2）利用极限保不等式性证明。 6、由 1 1 lim an A, 0, N ,k N n =     →  时， 2  ak − A  ，因为 n n n n n 1 C C c 2 1 2 + + ++ = ，于是 (a C a C an ) A n n + n 1 ++ n − 1 0 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 a0 A C a A C an A n = n − + n − ++ n − ( ) 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1   + +  − + − + + − + + n n n N n N N n n n C C a A C a A C a A  