342 高等数学重点难点100讲 别为r=2,r=2c096,D夹在y=0及x=0之间,即D在射线0= 0,0=矿之间.由极点引射线(极角6∈(0,石),它由边界r= 2c0s0 2cos6穿人D,由边界r=2穿出D,即D用极坐标可表示为2co6 ≤r≤2,0≤6≤7.故 (24-2cos0)d0 图8115 =41(1-0d8=z-3.l= 例9计算下列二重积分 )ln(x+y)dy其D为闭区域e≤x+y≤cy≥0 (2) x2+ dxdy,其中D为闭区域:x2+y2≤1,x≥0. 解(1)积分区域D为上半圆域且被积函数中含(x2+y2),用极坐标较简便,D的极坐 标表录式为:e≤r≤e2,0≤0≤兀故 In(x2+y2)dxdy= de Inr.rdr=T Inr2dr2 [r2ln2-r2]:="e2(3e2 (2)积分区域D为半径为1的右半圆域被积函数是属于f(x2+y2)类型的函数,用极 坐标计算救方便又(+y)-√关于y是佩函数积分区D关于轴对 称,故原积分是D的第一象限部分D1上积分的2倍,其中D1的极坐标表示为0≤r≤1,0 ≤8≤丌.故 2 dxdy=2d dr 2[C]-2[m=]=m-2 由上述例题可见:选用极坐标计算二重积分时,一般应同时考虑积分区域和被积函数的 特点若积分区域为圆域环形域或扇形域且被积函数是f(x2+y)、f( arctan)类型时, 适合选用极坐标计算二重积分,否则选直角坐标.而极坐标积分次序一般是先对r后对积 分 三、更换积分次序 例10计算 drlsinyody 解由于nydy不能用有限形式表示出其结果所以yy不能先计算为了改变 积分次序先要写出积分域所对应的不等式组,D:x-1≤y≤2,1≤x≤3,作出D的草图