傅氏变换习题解答 习题 1.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,则有 f(o= a(o)cos oddo+ b(o)sin oddo 其中 f∫(r) coordi, b(o)=f(r)sin ordr GE /(=f(r)e e drei"do=/(r)(cosot-jsinor)cos oddo ∫f()( COsT- jsin or)jsin otdrdo=」() cosordr cos oddo 广( in ordr sin ordo =S a(@)cos ordo+o b(@)sin odo 因p()mooo的奇函数,/()o偶函数 2.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,当/()为奇函数时,则有 Ar0=bla)sin(oo 其中 b(orr f()sin(or)dr 当f(为偶函数时,则有 f(=ao)cos(or o 其中 r f(e)cos(or)dr 证设f()是奇函数 /()=f()e io drea"do=/(r)(cos oT-jsin or)drei"do 广() sin ordre-o=2Jba-d.(o)是o的奇函数) 1*b(o)(cos ot jsin on)do="b(o)sin otda 设f()是偶函数 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 f ( t )满足傅氏积分定理的条件，则有 0 0 f ( )t a ( ω) c o sω ωtd b ( ω) s i n ωt d ω +∞ +∞ = + ∫ ∫ 其中 1 ( ) ( ) c o s , 1 ( ) ( ) s i n a f b f dd ω τ ωτ π τ ω τ ωτ τ π +∞ −∞ +∞ −∞ == ∫∫ 证 ( ) ( ) ( ) 1 1 j j (cos j sin ) cos 2 2 t f t f e d e d f ωτ ω τ τ ω τ ωτ ωτ ωtdτ d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 + (co s j s i n ) j s i n cos cos 2 1 + sin si n ( ) cos ( )sin f t d d f d t d f d t d a t d b t d τ ωτ ωτ ω τ ω τ ωτ τ ω ω π π τ ωτ τ ω ω ω ω ω ω ω ω π +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 因 f t ( ) τ ω sin τ cosω dτ d ω ω ， 。 +∞ ∫−∞ 为 的奇函数 f t ( ) τ ω cos τ cosω dτ d ω ω +∞ ∫−∞ 为 的偶函数 2．试证：若 f ( t )满足傅氏积分定理的条件，当 f ( t )为奇函数时，则有 f ( )t b (ω ) (ωt )dω ∫ +∞ = 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 b f ω τ ω sin τ d π +∞ = ∫ τ 当 f ( )t 为偶函数时，则有 f ( )t a (ω )cos (ωt )dω ∫0 +∞ = 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 a f ω τ ω cos τ d π +∞ = ∫ τ 证 设 f ( )t 是奇函数 ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ − ∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) j 0 1 si n j t f d e d ω τ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 j 2j t b e d ω ω ω +∞ −∞ = ∫ 。 （ b (ω ) 是 ω 的奇函数） ( ) ( ) ( ) 0 1 cos jsi n s i n 2j b t ω ω ωt d ω b ω ωt d +∞ +∞ −∞ = + = ∫ ∫ ω 设 f ( )t 是偶函数