843幂级数 幂级数通常是指通项为幂函数的函数项级数, cn(z-a)n=c0+c1(2-a)+c2(z-a)2 这是一种特殊形式的函数项级数,也是最基本、最常用的一种函数项级数 定理41Abel(第一)定理如果级数∑cn(z-a)n在某点20收敛,则在以a点为圆心 20-a为半径的圆内绝对收敛,而在|z-a|≤r(r<|z0-a)中一致收敛 证因为∑cn(z-a)在收敛,故一定满足必要条件 lim Cn(20-a)2=0. 因此存在正数q,使|cn(a0-a)<q.所以 cn(2-a)|=|cn(20-a) 因20--1即1-叫<-a时,|一收敛,故 n=0|20-a ∑n(2-0)在圆|-l<|a0-l内绝对收敛 而当|z-a≤r<|20-a时, cn(z-a)"≤ 常数项级数∑收敛,故 cn(z-a)在圆|z-叫≤r(r<|a0-a)中一致收敛 推论若级数∑cn(z-a)在某点z1发散,则在圆|-a=|21-叫外处处发散 证用反证法.若级数∑cn(z-a)在圆|z-a=|z1-叫外某一点a2收敛,则按Abel定 理,级数必然在圆|z-a=|22-a|(22-叫|>|21-a)内收敛,与原设矛盾.故级数∑cn(z-a) 在圆|z-a=|z1-叫外处处发散.口 收敛圆与收敛半径由于一个级数在z平面上的任意一点,总是要么收敛,要么发散.因此, 对于幂级数来说,就出现了这样的情况:在z平面上一部分点幂级数收敛,在另外一部分点幂级§4.3 ❢ ✆ ✝ ✞ 6 ✟ §4.3 ❣ ❆ ❅ ❤❋❊✐ ➸t❥ ✐↔ ❖ ❤ ✯ ❊ ❍✯ ❊↔❋❊✔ X∞ n=0 cn(z − a) n = c0 + c1(z − a) + c2(z − a) 2 + · · · + cn(z − a) n + · · · . ✆ t❘✗➇✚❦❧❍✯ ❊↔❋❊✔❃ t♠♥❝♦♠➸①❍❘✗ ✯ ❊↔❋❊✫ ❇❱ 4.1 Abel(♣ ✱ ) ❇❱ ❣❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌q✭ z0 ♥♦✔ ◗➌❹ a ✭ ❖ rs✔ |z0 − a| ❖t✉❍ r✮➞➟♥♦✔➫➌ |z − a| ≤ r(r < |z0 − a|) ✥❘✵♥♦✫ ✈ ⑤ ❖ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌ z0 ♥♦✔✇❘③①②➋⑩❶❷ limn→∞ cn(z0 − a) n = 0. ⑤⑥➲➌③ ❊ q ✔ ✴ |cn(z0 − a) n| < q ✫✐❹✔ |cn(z − a) n | = |cn(z0 − a) n | ·     z − a z0 − a     n < q     z − a z0 − a     n . ⑤ ❖     z − a z0 − a     < 1 ➭ |z − a| < |z0 − a| ➻✔ P∞ n=0     z − a z0 − a     n ♥♦✔✇ X∞ n=0 cn(z − a) n ➌ r|z − a| < |z0 − a| ✮➞➟♥♦✫ ➫➺ |z − a| ≤ r < |z0 − a| ➻✔ |cn(z − a) n | ≤ q r n |z0 − a| n , ➸ ❊↔❋❊ P∞ n=0 r n |z0 − a| n ♥♦✔✇ X∞ n=0 cn(z − a) n ➌ r|z − a| ≤ r (r < |z0 − a|) ✥❘✵♥♦✫ ④⑤ ➩ ❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌q✭ z1 ✉✈✔ ◗➌ r |z − a| = |z1 − a| ⑥⑦⑦✉✈✫ ✈ ① ❩ ❵➢ ✫ ➩ ❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌ r |z − a| = |z1 − a| ⑥q❘✭ z2 ♥♦✔ ◗ ✍ Abel ③ ⑧✔❋❊➋ ❪ ➌ r |z − a| = |z2 − a|(|z2 − a| > |z1 − a|) ✮♥♦✔ P⑨ ✪⑩❶✫✇❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ➌ r |z − a| = |z1 − a| ⑥⑦⑦✉✈✫ ❜❝❷❸❜❝❹❺ ❭ ❳❘❙❋❊➌ z ❻❼❚❍ ✏ ☛❘✭✔❽ t⑩❾♥♦✔ ⑩❾✉✈✫⑤⑥✔ ➟❳❤❋❊❿❋✔➈❻➀➁✆➂❍➃➄✽ ➌ z ❻❼❚❘ ❏▼✭❤❋❊♥♦✔ ➌➅⑥❘ ❏▼✭❤❋