数发散.这些收敛点与发散点之间存在一个分界线 ★根据Abel定理,这个分界线一定是圆.这个圆,就称为幂级数的收敛圆 收敛圆的圆心:z=a点 ★收敛圆的半径称为收敛半径 收敛半径可以是0.这时,收敛圆退化为一个点.除z=a点外,幂级数在全平面处处发散 收敛半径也可以是∞.这时收敛圆就是全平面.幂级数在全平面收敛,但在∞点可能收敛, 也可能发散 在讨论幂级数的性质时,首先应当求出收敛圆(收敛半径) 求幂级数的收敛半径的办法,常用的有两个 1.根据 Cauchy判别法,当 1(-a)y/<1即|-叫<而maPh 时级数绝对收敛;当 imn|en(2-a)y中n>1即|z-a 时级数发散.因此,幂级数∑cn(2-a)m的收敛半径是 2.根据 d'Alembert判别法,如果 in|+1(2-a)x+1 =|2-a|im|c+ 存在,则当 imn|+1(2-o+ cn(2-a)n<1即|z-l|<im 时级数绝对收敛;当 1(2-a)n+1 >1即|z-a|>lim 时级数发散.因此,幂级数∑cn(2-a)的收敛半径是 R= lim￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 7 ✟ ❊ ✉✈✫✆❴♥♦✭ P✉✈✭❬➆ ➲➌❘❙▼➇❙✫ F ⑦⑧ Abel ③ ⑧✔✆❙ ▼➇❙❘③t r ✫✆❙ r ✔➈♣❖ ❤❋❊❍ ❜❝❷ ✫ F ♥♦ r❍ rs✽ z = a ✭✫ F ♥♦ r❍t✉♣❖ ❜❝❹❺ ✫ ♥♦t✉❸❹ t 0 ✫✆ ➻✔ ♥♦ r➈➉❖❘❙✭✫➊ z = a ✭⑥✔❤❋❊➌❯❻❼⑦⑦✉✈✫ ♥♦t✉❃❸❹ t ∞ ✫✆ ➻♥♦ r ➈ t❯❻❼✫❤❋❊➌❯❻❼♥♦✔➋ ➌ ∞ ✭❸➌ ♥♦✔ ❃❸➌ ✉✈✫ ➌➍➎❤❋❊❍✇❄➻✔➏➐➑➺ ➐ ❻ ♥♦ r (♥♦t✉) ✫ ➐ ❤❋❊❍♥♦t✉❍➒➢ ✔ ➸①❍✙❨❙✽ 1. ⑦⑧ Cauchy ➡◆➢✔➺ limn→∞ |cn(z − a) n | 1/n < 1 ➭ |z − a| < 1 limn→∞ |cn| 1/n ➻ ❋❊➞➟♥♦➼➺ limn→∞ |cn(z − a) n | 1/n > 1 ➭ |z − a| > 1 limn→∞ |cn| 1/n ➻ ❋❊✉✈✫⑤⑥✔❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ❍♥♦t✉t R = 1 limn→∞ |cn| 1/n = lim n→∞     1 cn     1/n . 2. ⑦⑧ d’Alembert ➡◆➢✔❣❤ limn→∞     cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n     = |z − a| limn→∞     cn+1 cn     ➲➌✔ ◗ ➺ limn→∞     cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n     < 1 ➭ |z − a| < limn→∞     cn cn+1     ➻ ❋❊➞➟♥♦➼➺ limn→∞     cn+1(z − a) n+1 cn(z − a) n     > 1 ➭ |z − a| > limn→∞     cn cn+1     ➻ ❋❊✉✈✫⑤⑥✔❤❋❊ P∞ n=0 cn(z − a) n ❍♥♦t✉t R = limn→∞    cn cn+1