§22外测度与测度的延拓 教学目的本节讨论如何将环上的测度延拓到生成的G-代数上 去.这是定义测度常用的方法.下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue测 度 本节要点本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难.应注意 讲清主要思路,定理的证明应注意交代主要思想 一般说来,要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非 易事.设?是一个环,σ()是由生成的σ-代数.一般情况下,σ()要比大得多 显然,在上定义一个测度要比直接在σ()定义容易.因此,如果我们要在G()定义 个满足某些特定条件的测度,我们可以先在上定义这个测度,然后再设法延拓到 σ(R)上去.本节将证明,若μ是定义在环R上的测度,则总可以延拓到一个包含 σ()的σ-代数上去.利用测度的延拓定理,许多重要的测度可以用这种方法构造出来 本节仍设X是一固定的非空集,(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,A∈X.若{An}是C中的有限或无穷序列,使得 Ac∪A(或A∈∪A)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以写成可数并 (只要令A,=A4(n>k)则UA2=UA)因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖 设H是环上的测度.对每个AX,令 4)=inf2(A):{An}是A的覆盖 若A无覆盖,则令'(A)=+∞.这样定义的4是定义在(X)上的非负值集函数.称 为由4导出的外测度 定理1设H是环上的测度.4为由4导出的外测度则'满足 (i).4'(②)=0. (i)单调性:若ACB,则*(A)≤(B)43 §2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意 讲清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 一般说来, 要在一个比较复杂的集类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非 易事. 设R 是一个环, σ (R ) 是由R 生成的σ -代数. 一般情况下, σ (R ) 要比R 大得多. 显然, 在R 上定义一个测度要比直接在σ (R ) 定义容易. 因此, 如果我们要在σ (R ) 定义 一个满足某些特定条件的测度, 我们可以先在 R 上定义这个测度, 然后再设法延拓到 σ (R ) 上去. 本节将证明, 若 µ 是定义在环 R 上的测度, 则 µ 总可以延拓到一个包含 σ (R ) 的σ -代数上去. 利用测度的延拓定理, 许多重要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X ) 是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 ∪ k n A An =1 ⊂ (或 ∪ ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数并 (只要令 A A (n k), n = k > 则∪ ∪ ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. 设 µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集函数. 称 ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 定理 1 设 µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ