(i.次可数可加性:对x中的任意一列集{An}成立 (U4)≤∑A(An) (1) 证明由于{∞}是空集的一个覆盖,故'()≤()=0.因此r()=0 设AcB,则B的每个覆盖也是A的R覆盖这蕴涵'(A)≤'(B).下面证明具 有次可数可加性.设{An}是X的一列子集不妨设'(An)<+∞,n≥1(否则1)显然成立) 现在任意给定E>0.由'的定义,对每个n21,存在A的一个覆盖Cnkk,使得 ∑(Cn)≤(4)+5 由于{Cnk,n,k≥1是UA,的一个R覆盖,由(2)得到 (U4)≤∑∑(Cn)≤∑(4)+5)=∑(,)+E 由于6>0是任意的,因此得到r(U4)≤∑(A4)即具有次可数可加性■ 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上.但H'的定义域太 大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ一代数.将μ'限制在这个σ一代数上, '满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这个a一代数一般要比的定义域R要大, 于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环R上的测度,'是由导出的外测度,又设EcX.若对任意 AcX,均有 (A)=(A∩E)+'(A∩E (3) (图2-1)则称E是可测集可测集的全体所成的集类记为R A∩E44 (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ ∪ ≤ µ (1) 证明 由于{∅}是空集 ∅ 的一个 R 覆盖, 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个R 覆盖也是 A 的R 覆盖. 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具 有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨设 ( ) < +∞, ≥ 1 ∗ µ An n (否则(1)显然成立). 现在任意给定ε > 0. 由 ∗ µ 的定义, 对每个 n ≥ 1, 存在 An 的一个R 覆盖{ } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2) 由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是∪ ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k ∪An C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ ∪An µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性.■ 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的定义域太 大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条件挑 选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个σ−代数 . 将 ∗ µ 限制在这个σ−代数 上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ−代数 一般要比 µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环 R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对任意 A ⊂ X , 均有 ( ) ( ) ( ). c A = A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) ( 图 2—1)则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R A E C A∩ E A∩ E