第六部分曲线积分与曲面积分第11页共40页 fydx+=dy+ xde fo [2 sin t(-v2 sin t)+(2-v2 cos t)2 cost+V2 costv2 sin t]dt 解2由于曲线L在xOy平面上的投影曲线为L1:2x2+y2=4,所以 I=fydx+=dy+xde fydx+(2-x)dy+x(-dx) f0-x)dx+(2-x)d) y2≤4 2×r×2 解3取S为曲线L在平面x+z=2上围成的半径是2圆盘,上侧为正。根据斯托克斯公式 得 fydx+=dy +xda =(0-1)dc+(0-1)dax+(0-1)dxdy 0+r)ds=-v2 dS 17.计算I=x2yhk+y2zdy+x2xc,其中L为z=x2+y2与x2+y2+z2=6的交 线,方向为从z轴的正向往负向看去是顺时针。 解1求解{x2+y2+2=6,得=2,所以L的方程为{2=2,其参数方程为 ≥0 y=√2snt,参数t从0变到2丌。因此 +y xd G2[2cos2t√2sn(-V2sn)+4sin21√2cost+0dt t )dt 11第六部分 曲线积分与曲面积分 第 11 页 共 40 页 11  。  4 2 [2sin ( 2 sin ) (2 2 cos )2cos 2 cos 2 sin ] 2 0 = − =  − + − + =  + + t t t t t t dt I ydx zdy xdz L 解 2 由于曲线 L 在 xOy 平面上的投影曲线为 L1： 2 4 2 2 x + y = ，所以 2  2 2 4 2 。 ( 1 1) ( ) (2 ) (2 ) ( ) 2 4 2 2 1 1 = −    = − =  − − =  − + − =  + − + − =  + + x + y  L L L dxdy y x dx x dy ydx x dy x dx I ydx zdy xdz 解 3 取 S 为曲线 L 在平面 x + z = 2 上围成的半径是 2 圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式 得 ) 2 4 2 。 2 1 0 2 1 ( (0 1) (0 1) (0 1) = − + + = −  = − =  − + − + − =  + + S S S L dS dS dydz dzdx dxdy I ydx zdy xdz 17．计算 =  + + L I x ydx y zdy z xdz 2 2 2 ，其中 L 为 2 2 z = x + y 与 6 2 2 2 x + y + z = 的交 线，方向为从 z 轴的正向往负向看去是顺时针。 解 1 求解       + + = = + 0 6 2 2 2 2 2 z x y z z x y ，得 z = 2 ，所以 L 的方程为    + = = 2 2 2 2 x y z ，其参数方程为      = = = 2 2 sin 2 cos z y t x t ，参数 t 从 0 变到 2 。因此  。   = − =  − + =  − + + =  + + 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ( sin 2 4 2 sin cos ) [2cos 2 sin ( 2 sin ) 4sin 2 cos 0] t t t dt t t t t t dt I x ydx y zdy z xdz L