L为轨道角动量上升、下降算符, 由 有 v12)=l(1+)2|vn2) Elu2)=1(1+1)h2|-m2) 由 LV2)=( 川v2)=mn) 有 w)=(2+8)1)(吗+)=0+w 比较D与L的方程,知W12)与vm2)均是D和L的本征态, v mI 这就是两个表象之间的变换,但a,b=? 又由 jm)=f(+1)h21m 代人子的矩阵形式和1m,)的矩阵形式,有 方2+h2(+)2m)+bm+1)=0 有 m(M+时m+少 (+m+1b8m m)(—m+1+(+1)+2-(m+1)|-(+1)b}m+ 1(+1)+27+m-f(+1)a+y-m)(+m+1b=0 b 1+m)({-m+1)+1(+1)+2-(m+1)|-(+1)Lˆ ± 为轨道角动量上升、下降算符。 由 ( ) ˆ2 2 1 1 1 2 2 L j j l jm = + l l l jm G = ， 有 ( ) ( ) 2 2 1/ 2 1/ 2 2 2 1/ 2 1/ 2 ˆ 1 ˆ 1 L l l L l l ψ ψ ψ ψ − − ⎧ ⎪ = + ⎨ ⎪ = + ⎩ G = G = ， 由 1 1 ˆ 2 2 z j j J l jm = m = l jmj ， z J L ˆ ˆ z z = + S ˆ ， 有 ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ ( 1) 2 z z z j l z z z j l L J S m m L J S m m ψ ψ ψ ψ ψ ψ − − ψ − ⎧ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ − ≡ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ + = + ⎪⎩ ⎝ ⎠ = = = = ψ − 比较 ˆ2 L G 与 Lˆ z 的方程，知 ψ1/ 2 与 ψ −1/ 2 均是 ˆ2 L G 和 Lˆ z 的本征态， 1/ 2 1/ 2 1 , 2 , 1 l j l a l m l jm b l m ψ ψ − ⎛ ⎞ ⎛ = = ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ， 这就是两个表象之间的变换，但a b, ? = 又由 ( ) 2 2 1 1 1 2 2 j j J l jm = + j j l jm G = ， 代人 2 的矩阵形式和 ˆ J G 1 2 j l jm 的矩阵形式，有 有 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ˆ 3 ˆ ˆ 1 , , 1 4 ˆ 3 ˆ ˆ , 1 4 z l l z a L L j j l m b L l m a L l m b L L j j l m − + ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ + + − + + + = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎨ ⎪ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ − − + + ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ G = = = = G = = = = 0 , 1 0 l l = 即 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 , 4 3 1 1 1 1 , 1 4 l l l l l l l l l m j j a l m l m b l m l m l m a l l m j j b l m ⎧ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎨ ⎜ ⎟ + + + − + + − + + ⎬ = ⎢ ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎭ ⎨ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎨ ⎬ + − + + ⎜ ⎟ + + − + − + + = ⎪ ⎢ ⎥ ⎩⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 0 0 l 即 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 0 4 , 3 1 1 1 1 0 4 l l l l l l l l m j j a l m l m b a b l m l m a l l m j j b ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ + + + − + + − + + = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣⎝ ⎠ ⎦ ⎨ → ⎪ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + − + + ⎜ ⎟ + + − + − + = ⎪ ⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 4