第3期 肖辉辉，等：改进的蝙蝠算法在数值积分中的应用研究 ·365· 值积分问题对科学研究和工程实践具有重要参考价 项式而提出的。其设计思想是：应用当前种群个体 值。目前，求解函数的数值积分的方法有许多，常用 的差异来重组得到中间种群，然后再利用后代个体 的传统数值积分方法有Simpson法、Newton法、梯形 与父代个体之间的相互竞争来产生下一代新的种 法、矩形法、Remberg法、Gauss法等ua),但这些传统 群。其优点主要有收敛速度快、需待定的参数较少、 的方法在工程技术和科学研究中都存在一定程度的 不易陷入局部最优、易与其他智能算法融合，并构造 不足，比如积分精度不高、计算量较大、系数和节点 出具有性能更优的群智能优化算法。 的计算比较困难、收敛性得不到保证、求解被积函数 1.2.2DEBA算法的设计思想 的原函数非常困难等问题。近年来，随着智能算法 本文基于基本的BA算法，引入差分进化策略， 的发展，有学者利用智能算法求解函数的数值积分 融合其各自的优点，提出了基于差分进化策略的改 问题，从而克服了传统的数值积分方法的缺陷。如 进BA算法(differential evolution bat algorithm,DE- 2008年，周永权等人提出了基于进化策略求解任意 BA)。考虑到随机初始种群个体会影响算法的计算 函数数值积分)，该算法能快速有效地求出任意函 量，另外，R L Haupt等[1s)指出，在基于种群迭代搜 数的数值积分值：2009年，韦杏琼等)提出了一种 索的全局优化算法中，在迭代初期，多样性较好的种 基于粒子群算法的不等距节点数值积分方法，该算 群对提高算法的全局寻优能力很有帮助。因此，本 法能求解任意函数的数值积分值，对被积函数要求 文提出的DEBA算法在算法的迭代初期就把变异等 低，计算精度较高：同年，聂黎明等6提出一种基于 算子融入进来，从而保证了迭代初期种群的多样性。 人工鱼群算法求解任意函数的数值积分方法，该算 对基本的蝙蝠算法的深入剖析得知，由于算法 法对参数选取不敏感且对初始值无要求，计算积分 缺乏相应的变异机制，使得基本的蝙蝠算法具有收 精度较高：2013年陈欢[刀提出了一种基于杂草算法 敛精度低、易陷入局部极小等缺陷。为了克服这些 求解任意函数的数值积分方法，该算法对积分精度 不足，把差分进化策略融入到基本的蝙蝠算法中来， 有所提高。上述智能算法都在一定程度上解决了传 从而形成了本文算法，它跟基本的蝙蝠算法最显著 统数值积分方法的不足，取得了较大的成功，但在积 的区别在于使原来没有变异操作的基本蝙蝠算法具 分精度、鲁棒性、收敛性等方面仍存在不足。同时， 有变异机制。 目前国内外对蝙蝠算法在函数数值积分方面的研究 DEBA算法的设计思想：在基本的蝙蝠算法基 较少。 础上，经过演化后的蝙蝠位置x‘不是直接进入下一 次(t+1)迭代，而是继续对其进行差分进化，通过 1 蝙蝠优化算法 变异机制来获得种群中优秀个体与当前个体之间的 1.1基本蝙蝠优化算法 差异，从而引导个体的演化方向，使其向种群中的优 蝙蝠算法(bat algorithm,BA)[8)是YANG X S 秀个体靠近，在得到新的蝙蝠位置后，再进入下一次 2010年提出的一种新的群智能优化算法。是模拟蝙 迭代，继续利用基本的蝙蝠算法进行搜索和位置更 蝠采用一种声呐来探测猎物、避免障碍物的生物学特 新。这样就增加了种群的多样性，使其避免陷入局 性发展而来的一种新颖的群智能优化算法，具有并行 部最优而获得全局最优解，同时也提高了收敛速度 性、收敛速度快、分布式等特征。目前，BA算法作为 和收敛精度。 一种新的群智能优化算法，已广泛应用于自然科学、 1.2.3DEBA算法实现步骤 工程科学与生产实践中，如PSP调度问题)k均 DEBA算法的具体实施步骤如下： 值聚类优化o、工程优化山、多目标优化]等问题 1)初始化DEBA算法的各个参数。 中。但该算法存在着缺乏变异机制)]、易陷入局部 2)根据目标函数计算种群个体的适应度函数 极小、后期收敛速度慢与收敛精度低等缺点，使其在 值，确定当前的最优值及最优解。 很多领域的应用被严重地制约了，因此在具体的实际 3)利用式(1)~(3)对蝙蝠的搜索脉冲频率」 应用中需要经常对它进行改进。 速度和位置进行更新： 1.2具有差分进化策略的蝙蝠算法 f=fmin+(fax-fn）×B (1)》 1.2.1差分进化算法 =+(x-x)×f (2) 差分进化算法(differential evolution,DE)【i4是 x=x;1+ (3) 一种基于群体差异的启发式全局智能优化算法，它 式中：B∈[0,1]是均匀分布的随机数；f是蝙蝠i 是K Price和R Storn在1997年为求解切比雪夫多 的搜索脉冲频率，f方∈[fmfx]；:、:分别表值积分问题对科学研究和工程实践具有重要参考价 值。 目前，求解函数的数值积分的方法有许多，常用 的传统数值积分方法有 Ｓｉｍｐｓｏｎ 法、Ｎｅｗｔｏｎ 法、梯形 法、矩形法、Ｒｅｍｂｅｒｇ 法、Ｇａｕｓｓ 法等［１⁃３］ ，但这些传统 的方法在工程技术和科学研究中都存在一定程度的 不足，比如积分精度不高、计算量较大、系数和节点 的计算比较困难、收敛性得不到保证、求解被积函数 的原函数非常困难等问题。 近年来，随着智能算法 的发展，有学者利用智能算法求解函数的数值积分 问题，从而克服了传统的数值积分方法的缺陷。 如 ２００８ 年，周永权等人提出了基于进化策略求解任意 函数数值积分［４］ ，该算法能快速有效地求出任意函 数的数值积分值；２００９ 年，韦杏琼等［５］ 提出了一种 基于粒子群算法的不等距节点数值积分方法，该算 法能求解任意函数的数值积分值，对被积函数要求 低，计算精度较高；同年，聂黎明等［６］ 提出一种基于 人工鱼群算法求解任意函数的数值积分方法，该算 法对参数选取不敏感且对初始值无要求，计算积分 精度较高；２０１３ 年陈欢［７］提出了一种基于杂草算法 求解任意函数的数值积分方法，该算法对积分精度 有所提高。 上述智能算法都在一定程度上解决了传 统数值积分方法的不足，取得了较大的成功，但在积 分精度、鲁棒性、收敛性等方面仍存在不足。 同时， 目前国内外对蝙蝠算法在函数数值积分方面的研究 较少。 １ 蝙蝠优化算法 １．１ 基本蝙蝠优化算法 蝙蝠算法（ ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ＢＡ） ［８］ 是 ＹＡＮＧ Ｘ Ｓ ２０１０ 年提出的一种新的群智能优化算法。 是模拟蝙 蝠采用一种声呐来探测猎物、避免障碍物的生物学特 性发展而来的一种新颖的群智能优化算法，具有并行 性、收敛速度快、分布式等特征。 目前，ＢＡ 算法作为 一种新的群智能优化算法，已广泛应用于自然科学、 工程科学与生产实践中，如 ＰＦＳＰ 调度问题［９］ 、ｋ＿均 值聚类优化［１０］ 、工程优化［１１］ 、多目标优化［１２］ 等问题 中。 但该算法存在着缺乏变异机制［１３］ 、易陷入局部 极小、后期收敛速度慢与收敛精度低等缺点，使其在 很多领域的应用被严重地制约了，因此在具体的实际 应用中需要经常对它进行改进。 １．２ 具有差分进化策略的蝙蝠算法 １．２．１ 差分进化算法 差分进化算法（ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ，ＤＥ） ［１４］ 是 一种基于群体差异的启发式全局智能优化算法，它 是 Ｋ Ｐｒｉｃｅ 和 Ｒ Ｓｔｏｒｎ 在 １９９７ 年为求解切比雪夫多 项式而提出的。 其设计思想是：应用当前种群个体 的差异来重组得到中间种群，然后再利用后代个体 与父代个体之间的相互竞争来产生下一代新的种 群。 其优点主要有收敛速度快、需待定的参数较少、 不易陷入局部最优、易与其他智能算法融合，并构造 出具有性能更优的群智能优化算法。 １．２．２ ＤＥＢＡ 算法的设计思想 本文基于基本的 ＢＡ 算法，引入差分进化策略， 融合其各自的优点，提出了基于差分进化策略的改 进 ＢＡ 算法（ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ＤＥ⁃ ＢＡ）。 考虑到随机初始种群个体会影响算法的计算 量，另外， Ｒ Ｌ Ｈａｕｐｔ 等［ １５ ］指出，在基于种群迭代搜 索的全局优化算法中，在迭代初期，多样性较好的种 群对提高算法的全局寻优能力很有帮助。 因此，本 文提出的 ＤＥＢＡ 算法在算法的迭代初期就把变异等 算子融入进来，从而保证了迭代初期种群的多样性。 对基本的蝙蝠算法的深入剖析得知，由于算法 缺乏相应的变异机制，使得基本的蝙蝠算法具有收 敛精度低、易陷入局部极小等缺陷。 为了克服这些 不足，把差分进化策略融入到基本的蝙蝠算法中来， 从而形成了本文算法，它跟基本的蝙蝠算法最显著 的区别在于使原来没有变异操作的基本蝙蝠算法具 有变异机制。 ＤＥＢＡ 算法的设计思想：在基本的蝙蝠算法基 础上，经过演化后的蝙蝠位置 ｘｉ ｔ 不是直接进入下一 次（ ｔ ＋ １）迭代，而是继续对其进行差分进化，通过 变异机制来获得种群中优秀个体与当前个体之间的 差异，从而引导个体的演化方向，使其向种群中的优 秀个体靠近，在得到新的蝙蝠位置后，再进入下一次 迭代，继续利用基本的蝙蝠算法进行搜索和位置更 新。 这样就增加了种群的多样性，使其避免陷入局 部最优而获得全局最优解，同时也提高了收敛速度 和收敛精度。 １．２．３ ＤＥＢＡ 算法实现步骤 ＤＥＢＡ 算法的具体实施步骤如下： １） 初始化 ＤＥＢＡ 算法的各个参数。 ２） 根据目标函数计算种群个体的适应度函数 值，确定当前的最优值及最优解。 ３） 利用式（１） ～ （３） 对蝙蝠的搜索脉冲频率、 速度和位置进行更新： ｆ ｉ ＝ ｆｍｉｎ ＋ （ｆｍａｘ － ｆｍｉｎ ） × β （１） ｖｉ ｔ ＝ ｖｉ ｔ－１ ＋ （ｘｉ ｔ － ｘ ∗ ） × ｆ ｉ （２） ｘｉ ｔ ＝ ｘｉ ｔ－１ ＋ ｖｉ ｔ （３） 式中： β ∈［０，１］ 是均匀分布的随机数； ｆ ｉ 是蝙蝠 ｉ 的搜索脉冲频率， ｆ ｉ ∈［ ｆｍｉｎ ，ｆｍａｘ ］； ｖｉ ｔ 、 ｖｉ ｔ－１ 分别表 第 ３ 期 肖辉辉，等：改进的蝙蝠算法在数值积分中的应用研究 ·３６５·