。1348 北京科技大学学报 第32卷 共=cos△ycos△B 2误差因素分析以及实际运动学模型的建立 片=cos△ysim△3sim△a-sin△y 测量精度是测量设备的关键性指标，也是制约 R=cos△ysin△3cos△a-sn△y sinAa 柔性关节臂式测量机发展的技术瓶颈.根据文献 =sin△ycos△3 [9,可以知道误差源可分为六类如表2所示. 7=sin△sin3sin△a+cos△ycos△a(6) 表2柔性关节臂式测量机的误差源 Tab 2 Emor souces of FAACM f=sn△ysinAB cos△a十cosAy sin.△a 分类 误差源 误差值 =-sn△3 转角零位偏差 运动学参数误差关节旋转轴的倾斜角偏差 1-200μm ￥=cs△3sn△a 杆长误差 =cos△30s△a 测量分辨率 2-3m 编码器误差 非线性特性 40-0μm I Z 安装偏心率 约10⑩4m 零部件自重 约10μm 弹性变形 人为操作受力 测量接触受力 2-4m 加速受力 环境温度变化 温度误差 约10℃ X(X 内部热源 径向和轴向跳动 约5μm 关节误差 图2实际坐标系{}与理想坐标系{存在绕X轴旋转 摩擦 的倾斜角偏差△a 环境干扰 震动、灰尘、湿度等 Fg 2 Devatin Aa around X ax is be ween ac ual frme 从表2中，可以看出测量精度的影响因素最大 work{and ieal framnework{ 的是运动学参数误差.它们分为三种误差，分别是 因为本文建立的基准位姿结构模型中，基座坐 光电编码器的实际零位与理论零位之间的转角零位 标系{0和坐标系{1}重合，所以石，(0)不包含参 偏差，关节旋转轴的倾斜角偏差和杆长误差.转角 数误差.作为坐标系{7}原点的测头中心也只关注 零位偏差的存在使得中的0：可修正为 其在坐标系{6}的坐标，不需要关注坐标系{7}与坐 0=0:十△0： (4) 标系{6的旋转矩阵，则，只计位移向量参数误 由于后两种运动学参数误差的存在，基准位姿时的 差，可以定位为 T1(0可以修正为 1 00 T100 Xprobe-十△X T,0)=T-4(0)×T(0) (5) 0 10 010 ￥obe十△书 式中，T-.(0)为不考虑后两种运动学参数误差 001 001 Znte+△Z 的理想刚体变换矩阵它定义了坐标系{中关节轴 0 00 1 000 1 线Z相对于坐标系{-1}中关节轴线乙相互垂 (7) 直（如图1和表1所示人.T1(0)为考虑后两种运 通过上述参数误差项的分析，可以知道39项 动学参数误差的实际刚体变换矩阵.在考虑杆长误 运动学参数误差是△0、△0、△0，、△0、△0、△0，和 差△L时，可将它们计入T(0)中的位移向量 2(0以3(0以写4(0以、Ts(0以、工6(0以、6，中 d-,i(0方在考虑关节旋转轴的倾斜角偏差时，说 的各项.最后测头球心的齐次坐标P= 明在实际测量机的系统结构模型中各相邻局部坐标 (4△x斗△y4△，21)可以修正为 系中的Z轴轴线不相互垂直，并将这种类型的偏差 计入T(0)中的旋转矩阵R(-以(0)中.为了便于 =ⅡT-u(0)i×石，×(8) 分析关节旋转轴的倾斜角偏差对测量精度的影响， 旋转矩阵R0)采用欧拉角表示法四：实际坐 3误差仿真实验与分析 标系{与理想坐标系{}存在绕X轴旋转的△α角 根据式(8)的误差模型，利用Matb软件建立 倾斜角偏差（如图2所示），而△3、△y则分别表示绕 柔性关节臂式测量机的误差仿真分析系统，其仿真 YZ轴旋转的倾斜角偏差.R-(0)中的各元素 流程如图3所示. 表示如下： 由于运动学参数在测量机不同的位姿时对测量北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 2 误差因素分析以及实际运动学模型的建立 测量精度是测量设备的关键性指标, 也是制约 柔性关节臂式测量机发展的技术瓶颈.根据文献 [ 9], 可以知道误差源可分为六类, 如表 2所示 . 表 2 柔性关节臂式测量机的误差源 Table2 ErrorsourcesofFAACMM 分类 误差源 误差值 转角零位偏差 运动学参数误差 关节旋转轴的倾斜角偏差 1 ～ 200 μm 杆长误差 测量分辨率 2 ～ 3μm 编码器误差 非线性特性 40 ～ 50 μm 安装偏心率 约 100 μm 零部件自重 约 10μm 弹性变形 人为操作受力 测量接触受力 2 ～ 4μm 加速受力 温度误差 环境温度变化 约 10℃ 内部热源 — 关节误差 径向和轴向跳动 约 5μm 摩擦 — 环境干扰 震动、灰尘、湿度等 — 从表 2中, 可以看出测量精度的影响因素最大 的是运动学参数误差 .它们分为三种误差, 分别是 光电编码器的实际零位与理论零位之间的转角零位 偏差 、关节旋转轴的倾斜角偏差和杆长误差 .转角 零位偏差的存在使得 e ξ i θi中的 θi可修正为 θi′=θi+Δθi ( 4) 由于后两种运动学参数误差的存在, 基准位姿时的 Ti-1, i( 0)可以修正为 Ti′-1, i( 0) =Ti-1, i( 0) ×T′i( 0) ( 5) 式中, T( i-1) , i( 0)为不考虑后两种运动学参数误差 的理想刚体变换矩阵, 它定义了坐标系 {i}中关节轴 线 Zi相对于坐标系 {i-1}中关节轴线 Zi-1相互垂 直 (如图 1和表 1所示 ).Ti′-1, i( 0)为考虑后两种运 动学参数误差的实际刚体变换矩阵.在考虑杆长误 差 ΔLi时, 可将它们计入 T′i( 0 ) 中的位移向量 d′( i-1), i( 0);在考虑关节旋转轴的倾斜角偏差时, 说 明在实际测量机的系统结构模型中各相邻局部坐标 系中的 Zi轴轴线不相互垂直, 并将这种类型的偏差 计入 Ti′( 0)中的旋转矩阵R′( i-1), i( 0)中 .为了便于 分析关节旋转轴的倾斜角偏差对测量精度的影响, 旋转矩阵 R′( i-1), i( 0)采用欧拉角表示法 [ 10] :实际坐 标系 {i}与理想坐标系{i}存在绕 X轴旋转的 Δα角 倾斜角偏差 (如图 2所示 ), 而 Δβ、Δγ则分别表示绕 Y、Z轴旋转的倾斜角偏差.R′( i-1), i( 0)中的各元素 表示如下 : r 11 i =cosΔγcosΔβ r 12 i =cosΔγsinΔβsinΔα-sinΔγ r 13 i =cosΔγsinΔβcosΔα-sinΔγsinΔα r 21 i =sinΔγcosΔβ r 22 i =sinΔγsinΔβsinΔα+cosΔγcosΔα r 23 i =sinΔγsinΔβcosΔα+cosΔγsinΔα r 31 i =-sinΔβ r 32 i =cosΔβsinΔα r 33 i =cosΔβcosΔα ( 6) 图 2 实际坐标系{i}与理想坐标系{i}存在绕 X轴旋转 的倾斜角偏差 Δα Fig.2 DeviationΔαaroundXaxisbetweenactualframe￾work{i}andidealframework{i} 因为本文建立的基准位姿结构模型中, 基座坐 标系{0}和坐标系 {1}重合, 所以 T0, 1 ( 0)不包含参 数误差 .作为坐标系 {7}原点的测头中心也只关注 其在坐标系 {6}的坐标, 不需要关注坐标系 {7}与坐 标系{6}的旋转矩阵, 则 T6, 7只计位移向量参数误 差, 可以定位为 T6′, 7 = 1 0 0 Xp′robe 0 1 0 Yp′robe 0 0 1 Zp′robe 0 0 0 1 = 1 0 0 Xprobe +ΔX0 0 1 0 Yprobe +ΔY0 0 0 1 Zprobe +ΔZ0 0 0 0 1 ( 7) 通过上述参数误差项的分析, 可以知道 39项 运动学参数误差是 Δθ1 、Δθ2 、Δθ3 、Δθ4 、Δθ5 、Δθ6 和 T1′, 2 ( 0) 、T′2, 3 ( 0) 、T′3, 4 ( 0) 、T′4, 5 ( 0) 、T′5, 6 ( 0) 、T6′, 7中 的各 项 .最 后 测 头 球 心 的 齐 次 坐 标 P′Probe = ( x+Δx, y+Δy, z+Δz, 1) T可以修正为 PP′robe =∏ 6 i=1 T(′i-1 ), i( 0) e ξ iθ′i×T6′, 7 ×vProbe ( 8) 3 误差仿真实验与分析 根据式 ( 8)的误差模型, 利用 Matlab软件建立 柔性关节臂式测量机的误差仿真分析系统, 其仿真 流程如图 3所示 . 由于运动学参数在测量机不同的位姿时对测量 · 1348·