因此x="是原方程的解.由例42的结果知其通解为 (t) C1-C2 =-(C1 sint+C2 cos t 其中C1,C2为任意常数 5.设x1(t),x2(t)是二阶线性微分方程 d2+a1()a+a2()x=f( 对应的齐次方程的两个线性无关的特解,其中a1(t)和a2(t)是区间a≤t≤B上的连续函数,则方程 (2)在区间a≤t≤B上的通解为 r(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+ x1(7)x2(7)-r1(7)x2(7) ∫(r)dr, 其中c1,c为任意常数 证明:解组{x1(t),x2(t)}是对应的齐次方程的基本解组,其 Wronsky行列式为 W(=et/=()r2(0 =r1(t)x2(t)-x1(t)x2(t) r1(t)x2(t) 又W(t)中第2行第1列和第2列元素的代数余子式W1(t),W2()分别为W1(t)=-x2(1),W2(t)= (t).故由常数变易公式知所给二阶线性微分方程有特解 1(7)x27)-z(m)x2()/(rht 因此所给通解公式成立 6.求方程 +4r= tsin 2t 的通解.已知其对应的齐次线性方程有基本解组cos2t,sin2t 解:容易求出其对应的齐次线性方程的基本解组cos2t,sin2t的 ky行列式W(t)=2,W(1)中 第2行第1列及第2列元素的代数余子式W1(t),W2(t)分别为W1(t)=-sin2,W2(t)=cos2t.因 此由常数变易公式知原方程有特解 Tp(0)=2/(sin 2t cos 2T--cos 2t sin 2T)r sin 2Tdr 故原方程的通解为 其中C1,C2为任意常数3 因此 x = sin t t 是原方程的解. 由例 4.2 的结果知其通解为 x(t) = sin t t C1 − C2 Z t 2 sin2 t e −2 R t−1dtdt = 1 t (C1 sin t + C2 cos t), 其中 C1, C2 为任意常数. 5. 设 x1(t), x2(t) 是二阶线性微分方程 d 2x dt2 + a1(t) dx dt + a2(t)x = f(t), (2) 对应的齐次方程的两个线性无关的特解, 其中 a1(t) 和 a2(t) 是区间 α ≤ t ≤ β 上的连续函数, 则方程 (2) 在区间 α ≤ t ≤ β 上的通解为 x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + Z t t0 x1(τ )x2(t) − x1(t)x2(τ ) x1(τ )x 0 2 (τ ) − x 0 1 (τ )x2(τ ) f(τ )dτ, 其中 c1, c2 为任意常数. 证明: 解组 {x1(t), x2(t)} 是对应的齐次方程的基本解组, 其 Wronsky 行列式为 W(t) = det   x1(t) x2(t) x 0 1(t) x 0 2(t)   = x1(t)x 0 2(t) − x 0 1(t)x2(t). 又 W(t) 中第 2 行第 1 列和第 2 列元素的代数余子式 W1(t), W2(t) 分别为 W1(t) = −x2(t), W2(t) = x1(t). 故由常数变易公式知所给二阶线性微分方程有特解 xp(t) = Z t t0 x1(τ )x2(t) − x1(t)x2(τ ) x1(τ )x 0 2 (τ ) − x 0 1 (τ )x2(τ ) f(τ )dτ, 因此所给通解公式成立. 6. 求方程 d 2x dt2 + 4x = t sin 2t 的通解. 已知其对应的齐次线性方程有基本解组 cos 2t, sin 2t. 解: 容易求出其对应的齐次线性方程的基本解组 cos 2t, sin 2t 的 Wronsky 行列式 W(t) = 2, W(t) 中 第 2 行第 1 列及第 2 列元素的代数余子式 W1(t), W2(t) 分别为 W1(t) = − sin 2t, W2(t) = cos 2t. 因 此由常数变易公式知原方程有特解 xp(t) = 1 2 Z t 0 (sin 2t cos 2τ − cos 2t sin 2τ )τ sin 2τ dτ = − t 2 8 cos 2t + t 16 sin 2t. 故原方程的通解为 x = C1 cos 2t + C2 sin 2t − t 2 8 cos 2t + t 16 sin 2t, 其中 C1, C2 为任意常数