其中t,to∈a,,X(t)是相应齐次线性方程组的基解矩阵 证明:设x(t)为所给积分方程的解, dX(t X (to)xo+x(t)x(t)f(t, x(t))+ dX(t x()f(T, x(r) A(x()x-1(to)xo+f(,x(1)+A()/x()x-(r)f(r,x(r)dr A(tx(t)+f(t, x(t)) 故x(t)也为所给微分方程的解.同时易见x(to)=x0,故x(t)为所给初值问题的解 反之,设x(t)为所给初值问题的解,则有 de= A(tx+g(t), x(to)=xo, 其中g(t)=f(t,x(t))为已知函数.由常数变易公式得 x(t)=X(t)X(to)xo+/X(t)x()g(r)di =X(1)x-(o)xo+/x()x-(f(r,x)dr, 故x(t)也为所给积分方程的解 习题3.4 2.设x(t)是线性微分方程 d- (t)x+a2(1)x=0 的非零解,试证当x(to)=0时,x'(to)≠0. 证明:用反证法.若x(to)=0.,则x(t)是初值问题 d+a1(at+a2(r=0,x(o)=0,x()=0 显然这个初值问题有零解()≡0,因此由解的存在惟一性定理知必有x(t)≡0,这与x(t)是 解矛盾.故当x(to)=0时,x(to)≠0 3.验证x=!是方程 的解,并求该方程的通解 解:由x=sint知 d-r 2 dr 1 t+= t)+2 其中 t, t0 ∈ [α, β], X(t) 是相应齐次线性方程组的基解矩阵. 证明: 设 x(t) 为所给积分方程的解, 则 dx dt = dX(t) dt X −1 (t0)x0 + X(t)X −1 (t)f(t, x(t)) + Z t t0 dX(t) dt X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ = A(t)X(t)X −1 (t0)x0 + f(t, x(t)) + A(t) Z t t0 X(t)X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ = A(t)x(t) + f(t, x(t)), 故 x(t) 也为所给微分方程的解. 同时易见 x(t0) = x0, 故 x(t) 为所给初值问题的解. 反之, 设 x(t) 为所给初值问题的解, 则有 dx dt = A(t)x + g(t), x(t0) = x0, 其中 g(t) = f(t, x(t)) 为已知函数. 由常数变易公式得 x(t) = X(t)X −1 (t0)x0 + Z t t0 X(t)X −1 (τ )g(τ ) dτ = X(t)X −1 (t0)x0 + Z t t0 X(t)X −1 (τ )f(τ, x(τ )) dτ, 故 x(t) 也为所给积分方程的解. 习 题 3.4 2. 设 x(t) 是线性微分方程 d 2x dt2 + a1(t) dx dt + a2(t)x = 0 的非零解, 试证当 x(t0) = 0 时, x 0 (t0) 6= 0. 证明: 用反证法. 若 x 0 (t0) = 0, 则 x(t) 是初值问题 d 2x dt2 + a1(t) dx dt + a2(t)x = 0, x(t0) = 0, x 0 (t0) = 0 的解. 显然这个初值问题有零解 x¯(t) ≡ 0, 因此由解的存在惟一性定理知必有 x(t) ≡ 0, 这与 x(t) 是 非零解矛盾. 故当 x(t0) = 0 时, x 0 (t0) 6= 0. 3. 验证 x = sin t t 是方程 d 2x dt2 + 2 t dx dt + x = 0 的解, 并求该方程的通解. 解: 由 x = 1 t sin t 知 d 2x dt2 + 2 t dx dt + x = 2 t 3 sin t − 2 t 2 cos t − 1 t sin t + 2 t (− 1 t 2 sin t + 1 t cos t) + 1 t sin t = 0